Треугольник из проволоки на нити

Масса каждой стороны пропорциональна её длине. Замените массы сторон двумя точечными массами в серединах оснований, а затем найдите центр масс всей системы, учитывая, что он лежит на отрезке между этими точками.

Обозначим длину боковой стороны треугольника через \(a\), а её массу — через \(m\). Из вершины \(C\) опустим перпендикуляр \(CD\) на основание \(AB\); точка \(D\) — середина основания. Длины отрезков \(CD\) и \(AB\): \[CD = a\sin\alpha, \qquad AB = 2a\cos\alpha .\] Так как массы сторон треугольника пропорциональны их длинам, масса основания \(AB\) равна \[m_1 = 2m\cos\alpha .\] Стянем эту массу в точку \(D\) — центр масс основания. Массы боковых сторон стянем в их середины — точки \(E\) и \(F\). Эти две массы заменим одной массой \(m_2 = 2m\), расположенной в точке \(G\) — середине средней линии \(EF\). Таким образом, имеем две точечные массы \(m_1\) и \(m_2\), расположенные в точках \(D\) и \(G\). Центр масс треугольника \(H\) совпадает с центром масс этой пары и лежит на отрезке \(DG\).

Если треугольник подвешен на нити за вершину \(A\), то в положении равновесия отрезок \(AH\) параллелен вектору ускорения свободного падения \(\vec g\). Условием равновесия является равенство моментов сил \(m_1\vec g\) и \(m_2\vec g\) относительно оси, проходящей через точку \(A\) перпендикулярно плоскости рисунка. Проведём через точку \(H\) прямую, перпендикулярную отрезку \(AH\). Отрезки этой прямой от точки \(H\) до линий действия сил тяжести — плечи этих сил; на рисунке они обозначены через \(x\) и \(y\). Условие равенства моментов даёт: \[x\, m_1 g = y\, m_2 g \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x} = \frac{m_1}{m_2} = \cos\alpha .\] Далее имеем два подобных прямоугольных треугольника, в которых отрезки \(x\) и \(y\) являются катетами, а отрезки \(DH\) и \(GH\) — гипотенузами: \[\frac{GH}{DH} = \frac{y}{x} = \cos\alpha .\] Кроме того, сумма \(DH + GH\) равна половине высоты \(CD\): \[DH + GH = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}\sin\alpha .\] Из полученных соотношений находим длину отрезка \(DH\) и угол \(\beta\): \[GH = DH\cos\alpha, \qquad DH + DH\cos\alpha = \frac{a}{2}\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad DH = \frac{a\sin\alpha}{2(1 + \cos\alpha)},\] \[\tan\beta = \frac{DH}{AB/2} = \frac{\tan\alpha}{2(1 + \cos\alpha)} \quad\Rightarrow\quad \beta = \arctan\left[\frac{\tan\alpha}{2(1 + \cos\alpha)}\right] = 3{,}9^\circ .\] Следует отметить, что в этой задаче неправильным является решение, основанное на утверждении, что центр масс треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Это утверждение справедливо только для случая, когда масса треугольника равномерно распределена по его площади. При неправильном решении \(DH = CD/3\), и \(\beta = \arctan(\tan\alpha/3)\); при \(\alpha = 15^\circ\) это даёт \(\beta = 5{,}1^\circ\).