Сопротивление мостовой цепи

Введите токи в ветвях, запишите правила Кирхгофа для узлов \(C\), \(D\) и для контуров; учтите симметрию схемы.

Введём обозначения для сил токов, как показано на рисунке.

Запишем первое правило Кирхгофа для узлов \(C\) и \(D\): \[\begin{cases} I_1 = I_3 + I_5, \\ I_2 + I_5 = I_4; \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} I_5 = I_1 - I_3, \\ I_4 = I_1 + I_2 - I_3. \end{cases}\] Запишем второе правило Кирхгофа для контура \(ACBDA\): \[I_1 R + 2I_3 R - I_4 R - 2I_2 R = 0.\] Подставив в это уравнение выражение для \(I_4\), получим \[3I_3 R - 3I_2 R = 0 \iff I_2 = I_3 \implies I_5 = I_1 - I_2.\] Запишем второе правило Кирхгофа для контура \(ACDA\): \[I_1 R + (I_1 - I_2) R - 2I_2 R = 0 \implies I_2 = \dfrac{2}{3} I_1.\] Напряжение между точками \(A\) и \(B\) \[U = I_1 R + 2I_3 R = I_1 R + 2I_2 R = \dfrac{7}{3} I_1 R.\] В точку \(A\) втекает ток силой \[I = I_1 + I_2 = \dfrac{5}{3} I_1.\] Значит, общее сопротивление цепи \[R_0 = \dfrac{U}{I} = \dfrac{7}{5} R.\] Сила тока \[I_5 = I_1 - I_2 = \dfrac{1}{3} I_1 = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{U}{\frac{7}{3} R} = \dfrac{U}{7R}.\] Примечание: равенства \(I_1 = I_4\), \(I_2 = I_3\) могут быть получены из соображений симметрии.