Задачи › Механическая энергия, консервативные системы

Рогатка с резиновой лентой

  1. Рогатка с резиновой лентой

    Санкт-Петербургская 2023/24, 11 кл.
    6/10

    Дима учится стрелять жёваной бумагой из рогатки (см. рис.). В рогатке используется резиновая лента жёсткости \(k\), в ненатянутой рогатке лента не деформирована и не провисает, а её длина \(2L\). При первом выстреле Дима вложил «снаряд» в середину ленты (в точку \(A\)), оттянул его строго перпендикулярно ленте и в тот момент, когда лента растянулась до длины \(2Y\), отпустил пальцы и произвёл выстрел. Второй раз Дима поместил «снаряд» в точку \(B\), расположенную на расстоянии \(L/2\) от середины ленты, оттянул снаряд в ту же самую точку, что в первом случае, при этом резиновая лента с обеих сторон от снаряда не провисала. Дима произвёл второй выстрел. На сколько увеличилась энергия вылета «снаряда»?

    Массой резиновой ленты, выделением тепла в резине и сопротивлением воздуха пренебречь. Считайте, что в процессе выстрела снаряд не скользит по ленте.

    Рисунок

    Во 2-м варианте жёсткость ленты не задана: известно приращение энергии \(\Delta E\) при втором выстреле; найдите жёсткость ленты. Ответ: \(k = \dfrac{3\,\Delta E}{2Y^2}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Жёсткость куска ленты обратно пропорциональна его длине: половина ленты в два раза жёстче целой. Запасённая упругая энергия при выстреле переходит в кинетическую энергию снаряда.

    Ответ

    \(E_B - E_A = \dfrac{2kY^2}{3}\) (во 2-м варианте: \(k = \dfrac{3\,\Delta E}{2Y^2}\)).

    Решение

    При первом выстреле лента растянута на \(2Y - 2L\) и запасает энергию \[E_A = \frac{k(2Y - 2L)^2}{2} = 2k(Y - L)^2.\] Здесь важно, что половина ленты имеет жёсткость \(2k\): под той же нагрузкой она растягивается вдвое меньше. При втором выстреле лента делится на два куска: длиной \(L/2\) с жёсткостью \(4k\) и длиной \(3L/2\) с жёсткостью \(4k/3\); каждый растянут до длины \(Y\): \[E_B = \frac{4k(Y - L/2)^2}{2} + \frac{4k}{3}\cdot\frac{(Y - 3L/2)^2}{2}.\] Раскрывая скобки и вычитая \(E_A\), получаем \(E_B - E_A = \dfrac{2kY^2}{3}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх