Ледяной полушар на столе

Скорость уменьшения высоты льда постоянна: тепловой баланс даёт \(\Delta h/\Delta t = \alpha/(\lambda\rho)\). Для начального положения найдите точку на столе по закону преломления, а затем представьте, что стол поднимается.

Тепловой баланс за малое время: \(\alpha S\,\Delta t = \lambda\rho S\,\Delta h\), поэтому высота льда убывает равномерно. В начальный момент луч падает под углом \(\alpha = 30^\circ\) (\(\sin\alpha = 1/2\)). По закону Снеллиуса \(\sin\beta = \dfrac{1}{2n}\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\). Из геометрии точка падения на столе находится на расстоянии \[x_0 = \frac{2R}{\sqrt{12n^2-3}+1}\] от центра \(O\). Представляя, что стол поднимается равномерно и «съедает» лёд слой за слоем, получаем, что точка пересечения луча со столом поднимается равномерно: \(x(t)\) линейна. Точка достигает \(R/2\), когда растаял слой толщиной \(R\sqrt3/2\), то есть при \(t = \sqrt3\,T_0/2\).