Три заряженные бусинки на нити

Нить натянута отталкиванием бусинок и образует треугольник с вершинами в их положениях. Выпишите условие равновесия каждой бусинки: силы отталкивания уравновешиваются натяжением нити.

Благодаря кулоновскому отталкиванию бусинки натянут нить и расположатся в вершинах треугольника. Поскольку заряды бусинок разные по величине, положение равновесия бусинок будет достигаться при различных расстояниях между ними. Поэтому треугольник, в который растянется нить, будет неправильным (см. рисунок).

Рассмотрим условия равновесия бусинки с зарядом \(q\). На неё действуют силы отталкивания от зарядов \(2q\) и \(3q\) (силы \(\vec F_{12}\) и \(\vec F_{13}\) соответственно). Кроме того, на бусинку действует сила со стороны нити, которая равна сумме сил натяжения нити \(\vec T\) и \(\vec T'\) в тех точках, где пропадает контакт между нитью и бусинкой (по аналогии с силой, действующей на блок со стороны переброшенной через него нити). Эти силы, действующие на бусинку с зарядом \(q\), показаны на рисунке. Условие равновесия бусинки имеет вид \[\vec F_{12} + \vec F_{13} + \vec T + \vec T' = 0 .\]

Очевидно, силы \(\vec F_{12}\) и \(\vec T'\) направлены вдоль одной и той же прямой (соединяющей заряды \(q\) и \(2q\)), силы \(\vec F_{13}\) и \(\vec T\) — также вдоль одной и той же, но другой по сравнению с первой, прямой (соединяющей заряды \(q\) и \(3q\)). Поэтому, проецируя уравнение на оси, перпендикулярные сначала одной, а затем другой прямой, получим \[\left|\vec F_{12}\right| = \left|\vec T'\right| , \qquad \left|\vec F_{13}\right| = \left|\vec T\right| .\] А поскольку величины сил натяжения участков нити между зарядами \(q\) и \(2q\), а также между зарядами \(q\) и \(3q\) одинаковы (это одна и та же нить), из этих соотношений заключаем, что \(F_{12} = F_{13}\). Аналогично доказываем, что \(F_{12} = F_{23}\). Таким образом, в равновесии бусинки занимают такое положение на нити, что силы их взаимодействия одинаковы (и равны силе натяжения нити). Поэтому с использованием закона Кулона получаем \[F_{12} = T = \frac{2kq^2}{l_{12}^2}, \qquad F_{13} = T = \frac{3kq^2}{l_{13}^2}, \qquad F_{23} = T = \frac{6kq^2}{l_{23}^2},\] где \(k = (4\pi\varepsilon_0)^{-1}\) — постоянная в законе Кулона, \(l_{12}\), \(l_{13}\) и \(l_{23}\) — расстояния между бусинками \(q\) и \(2q\), \(q\) и \(3q\), \(2q\) и \(3q\). Выражая из этих формул величины \(l_{12}\), \(l_{13}\) и \(l_{23}\) и учитывая, что их сумма равна длине нити, получим \[l = \sqrt{\frac{2kq^2}{T}} + \sqrt{\frac{3kq^2}{T}} + \sqrt{\frac{6kq^2}{T}} = \sqrt{\frac{kq^2}{T}}\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}\right) .\] Из этой формулы находим \[T = \frac{kq^2\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}\right)^2}{l^2} .\]