Лёд с вмороженным телом

Сравните объём воды, вытесняемый системой «лёд с телом» до таяния, с объёмом, который занимает тело после таяния льда, при том что тело утонуло.

Пусть масса льда \(M\). Тогда условие плавания льда с телом в воде даёт \[(m + M)g = \rho_0 g V_1 ,\] где \(V_1\) — объём погружённой в воду части льда. Или, другими словами, объём вытесненной воды в начальном состоянии равен \[V_1 = \frac{m}{\rho_0} + \frac{M}{\rho_0} .\] После того, как лёд растаял, в сосуде появилось дополнительное количество воды массой \(M\) и, следовательно, объёмом \[V_2 = \frac{M}{\rho_0} .\] Но вытеснен объём воды, равный объёму тела (тело имеет плотность, большую плотности воды, поэтому оно утонуло).

Очевидно, если величина \(V_{\text{тела}} + V_2\) больше объёма вытесненной в первом случае воды, уровень воды в сосуде повысится. Если меньше — понизится, если равен — не изменится. Поэтому сравним эти объёмы: \[V_{\text{тела}} + V_2 \;\lessgtr\; V_1 .\] С помощью формул для \(V_1\) и \(V_2\) сравнение приводится к виду \[V_{\text{тела}} \;\lessgtr\; \frac{m}{\rho_0} .\] В этом неравенстве левая часть, очевидно, меньше правой, поскольку плотность тела есть \(m/\rho\), а плотность тела больше плотности воды. Следовательно, в конечном состоянии вытесняется объём воды, меньший на величину \[\Delta V = \frac{m}{\rho_0} - V_{\text{тела}} = \frac{m}{\rho_0} - \frac{m}{\rho} = \frac{m(\rho - \rho_0)}{\rho_0\rho} .\] Этот объём распределяется равномерно по всему сосуду, поэтому уровень воды опустится на величину \[\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{m(\rho - \rho_0)}{S\rho_0\rho} .\]