Шарик в пробирке

До удара пробирка покоится, и шарик проходит её длину со скоростью \(v\). После упругого удара проверьте, как распределяются скорости между шариком и пробиркой, и найдите их относительную скорость.

Шарик долетит до дна пробирки за время \[t_1 = \frac{l}{v} .\] Далее используем законы сохранения импульса и энергии в момент удара: \[mv = -mv_1 + 5mv_2, \qquad \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{5mv_2^2}{2} .\] Решая эту систему относительно \(v_1\) и \(v_2\), получим \[v_1 = \frac{2v}{3}, \qquad v_2 = \frac{v}{3} .\] Учитывая, что скорости шарика и пробирки направлены противоположно, находим относительную скорость шарика относительно пробирки \[v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 = v .\] А это значит, что шарик вылетит из пробирки за такое же время. Поэтому шарик вылетит из пробирки через время \[t = \frac{2l}{v} .\] От масс шарика и пробирки это время не зависит. В эту формулу укладываются и два предельных случая. Если масса пробирки много больше массы шарика, пробирка после удара будет стоять, а шарик двигаться с той же скоростью и проведёт в пробирке время \(2l/v\). Если соотношение масс обратное, шарик при ударе не изменит скорость, а пробирка будет двигаться со скоростью \(2v\), и, следовательно, шарик проведёт в пробирке время \(2l/v\).