Греем шар

Найдите тепловую энергию воздуха в шаре как функцию времени, отсчитывая её от энергии воздуха при температуре окружающей среды; мощность — скорость изменения этой энергии.

Тепловая энергия воздуха в шаре в момент \(t\): \(E(t) = m(t)\,c\,(T(t) - T_0)\), где \(m(t) = u t\) — масса воздуха в шаре. В качестве точки отсчёта энергии удобно принять энергию тела с температурой окружающей среды, так как температура воздуха при надувании не опускается ниже \(T_0\). Подставляя зависимости, \[E(t) = u t\cdot c\cdot T_0 \alpha t = u\alpha c T_0\, t^2.\] Мощность нагревателя равна скорости изменения этой энергии. Скорость изменения координаты с квадратичной зависимостью \(x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{a}{2}t^2\) равна \(v(t) = v_0 + at\); по этой аналогии \[P(t) = \frac{dE}{dt} = 2\,c\,u\,\alpha\,T_0\,t.\] Энергия, которую приносит ненагретый поток воздуха, равна нулю в силу выбора начала отсчёта энергии.