Раздельный конус

Горизонтальные составляющие давления жидкости на половинку конуса взаимно уничтожаются, а сумма вертикальных сил сводится к давлению на вертикальное сечение конуса — треугольник.

Половинка конуса плавает, и суммарная сила давления жидкости на неё направлена по вертикали, а горизонтальные составляющие в сумме дают нуль. Тогда сила давления на боковую поверхность конуса равна силе давления на треугольник — сечение конуса. Итоговая горизонтальная составляющая — это сила давления воды на вертикальный треугольник.

Конус погружён верхней частью в масло, нижней — в воду. Суммарную силу давления можно считать как сумму силы давления на исходный конус, целиком находящийся в воде, и силы давления на верхнюю часть конуса, которая эффективно погружена в жидкость плотности \(\rho_1 - \rho_0\); при этом нужно учесть, что верхняя часть конуса не погружена в воду.

Давление линейно зависит от глубины, поэтому сила давления на фигуру совпадает с вычислением центра масс фигуры: \(F = \rho g\, y_{\text{ц.м.}}\, S\), где \(y\) отсчитывается вниз от верхней точки фигуры. Для треугольника с высотой \(h\) и стороной \(a\) центр масс находится на расстоянии \(\frac{2}{3}h\) от вершины, и \[F = \rho g\cdot\frac{2}{3}h\cdot\frac{1}{2}ah = \frac{1}{3}\rho g a h^2.\] Учтём также масло, создающее дополнительное давление на нижнюю часть треугольника; его эффект заменён якобы имеющейся там водой, поэтому добавляется \(F_{\text{доб.}} = \frac{\sqrt{3}}{8}(\rho_1 - \rho_0) g H^3\). Итоговая сила давления \[F = \sqrt{3}\,\rho_0 g H^3\left(\frac{2}{9} - \frac{1}{36} - \frac{1}{8}\right) + \sqrt{3}\,\rho_1 g H^3\left(\frac{1}{36} + \frac{1}{8}\right) = \frac{\sqrt{3}}{72}\bigl(5\rho_0 + 11\rho_1\bigr) g H^3.\]