Связанные блоки
6/10К горизонтальному стержню прикреплены неподвижные блоки (см. рис.). К ним с помощью лёгкой нерастяжимой нити подвешены подвижные блоки, к которым, в свою очередь, подвешено \(N\) грузов массами \(m_1, m_2, \ldots, m_N\). Нить проходит между торцевыми блоками не провисая. Систему удерживают в равновесии, а затем отпускают. Найдите ускорения всех грузов. Массами блоков можно пренебречь, трение в осях блоков отсутствует.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для каждого подвижного блока, а нерастяжимость нити свяжите с перемещениями блоков.
Ответ\(a_i = g\left(\dfrac{N}{m_i}\Big/\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{1}{m_k} - 1\right)\), \(i = 1, \ldots, N\).
РешениеНатяжение нити \(T\) одинаково во всех точках нити. На подвижный блок с номером \(i\) действует сила \(2T\) вверх и сила тяжести груза \(m_i g\) вниз: \[m_i a_i = 2T - m_i g, \quad i = 1, 2, \ldots, N.\] Ускорения связаны условием \(a_1 + a_2 + \ldots + a_N = 0\): нить нерастяжима, поэтому сумма перемещений блоков равна нулю, а перемещение за время \(\Delta t\) равно \(a_i \Delta t^2/2\).
Поделив каждое уравнение на \(m_i\) и сложив их, получим \[0 = 2T\left(\frac{1}{m_1} + \ldots + \frac{1}{m_N}\right) - Ng, \qquad T = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m_1} + \ldots + \frac{1}{m_N}\right)^{-1} N g.\] Подставляя \(T\) в уравнение для \(a_i\): \[a_i = g\left(\frac{N}{m_i\left(\frac{1}{m_1} + \ldots + \frac{1}{m_N}\right)} - 1\right), \quad i = 1, 2, \ldots, N.\]
Похожие задачи
- Модель подвижного блока Максвелл 2011/12, 7 кл.
- Модель подвижного блока Максвелл 2011/12, 8 кл.
- Три блока ВсОШ 2013/14, 10 кл.
- Система блоков с тремя грузами МОШ 2014/15, 10 кл.
- Груз на нити через блок МОШ 2014/15, 11 кл.
- Шарики на нити в воде «Надежда энергетики» 2015/16, 8 кл.