Тень от головы мальчика

Покажите, что расстояние от тени до дорожки не зависит от положения мальчика, и найдите, как перемещается тень вдоль дорожки при его движении, через подобные треугольники.

Докажем, что тень от головы мальчика движется по прямой линии, параллельной дорожке. Для этого рассмотрим такое положение мальчика, когда расстояние от него до фонаря равно некоторой величине \(y\) (см. рисунок; мальчик схематически показан жирным вертикальным отрезком с шариком (головой) наверху). Тогда из подобия треугольников \(ABE\) и \(ACD\) (см. рисунок) имеем \[\frac{y}{DC} = \frac{H-h}{H},\] где \(H\) — высота фонаря (сторона \(AD\) в треугольнике \(ACD\)), \(H-h\) — сторона \(AE\) в треугольнике \(ABE\). Из этого соотношения находим \[OC = DC - y = \frac{hy}{H-h}.\] Теперь из подобия треугольников \(ODM\) и \(OCN\) находим расстояние от тени от головы мальчика до дорожки (\(l_1 = NC\)): \[\frac{l_1}{l} = \frac{OC}{OD} = \frac{h}{H-h} \quad\Rightarrow\quad l_1 = \frac{lh}{H-h}.\] Из полученной формулы следует, что расстояние от тени от головы мальчика до дорожки не зависит от положения мальчика, и, следовательно, тень движется по прямой, параллельной дорожке.

Поэтому, чтобы найти скорость тени, нужно следить только за её координатой вдоль дорожки (а не поперёк, поскольку последняя, как мы доказали, не меняется). Расстояние от тени до точки \(Q\), ближайшей к траектории тени до основания фонаря, \(CQ\) (см. рисунок), также можно найти из подобия треугольников \(ODM\) и \(OCN\): \[\frac{NO}{OM} = \frac{l_1}{l} = \frac{h}{H-h} \quad\Rightarrow\quad NO = \frac{h}{H-h}\,OM, \qquad CQ = NO + OM = \frac{H}{H-h}\,OM.\] Когда мальчик идёт, расстояние \(OM\) уменьшается со скоростью \(v\), соответственно уменьшается и расстояние \(CQ\) — перемещается тень. Если мальчик пройдёт малое расстояние \(\Delta x\), отрезок \(OM\) уменьшится на величину \(\Delta x\), а расстояние \(CQ\) уменьшится на величину \[\Delta z = \frac{H}{H-h}\,\Delta x,\] которая и представляет собой перемещение тени. Отсюда находим скорость тени: \[v_{\text{тени}} = \frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{H}{H-h}\,\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{Hv}{H-h}.\] Поскольку эта величина не зависит от положения мальчика, тень движется с постоянной скоростью.