Три груза и два блока

Запишите второй закон Ньютона для каждого тела и условия связи натяжений и ускорений. Рассмотрите по очереди три случая: покоится тело \(M\), покоится тело \(m\), покоится тело \(4m\).

Чтобы тело могло быть в покое, сумма действующих на него сил должна равняться нулю. Кроме того, должны выполняться условия связи сил натяжения (натяжение нижней верёвки должно быть вдвое меньшим натяжения верхней). И должны быть связаны ускорения тел: если в покое находится тело массой \(M\), ускорения тел \(m\) и \(4m\) равны друг другу и направлены противоположно; если в покое находится одно из тел \(m\) или \(4m\), ускорение второго тела и тела массой \(M\) должны отличаться вдвое. Проверим выполнимость этих условий для всех трёх возможных вариантов покоя тел.

1. Пусть в покое находится тело \(M\). Тогда сила натяжения верёвки, перекинутой через верхний блок, должна равняться \(Mg\), а сила натяжения верёвки, перекинутой через нижний блок, — \(Mg/2\). Ускорения тел \(m\) и \(4m\) в этом случае равны \[a_m = \frac{M/2 - m}{m}\,g, \qquad a_{4m} = \frac{4m - M/2}{4m}\,g.\] Приравнивая эти ускорения, получаем уравнение на массу \(M\), откуда находим \(M = \dfrac{16}{5}\,m\).

2. Пусть в покое находится тело \(m\). Тогда сила натяжения верёвки, перекинутой через нижний блок, равна \(mg\). Такая же сила действует и на второй груз, который в результате имеет ускорение, направленное вниз и равное \[a_{4m} = \frac{3}{4}\,g.\] На тело массой \(M\) следовательно, действует сила натяжения \(2mg\), которая сообщает этому телу ускорение \[a_M = \frac{2m - M}{M}\,g.\] А поскольку ускорение тела \(M\) в этом случае вдвое меньше ускорения тела \(4m\), то должно быть выполнено условие \[2\,\frac{2m - M}{M}\,g = \frac{3}{4}\,g,\] откуда находим \(M = \dfrac{16}{11}\,m\).

3. Пусть в покое находится тело \(4m\). Тогда сила натяжения верёвки, перекинутой через нижний блок, равна \(4mg\). Такая же сила действует и на второй груз, который в результате имеет ускорение, направленное вверх и равное \(a_m = 3g\). На тело массой \(M\) тогда действует сила натяжения \(8mg\), и его ускорение (направленное вниз) равно \[a_M = \frac{M - 8m}{M}\,g.\] А поскольку ускорение тела \(M\) должно быть вдвое больше ускорения тела \(m\), то \[3g = 2\,\frac{M - 8m}{M}\,g.\] Отсюда находим \(M = -16m\). Такого быть не может, поэтому этот случай не реализуется.

Таким образом, тело \(m\) может находиться в покое при \(M = \dfrac{16}{11}\,m\), тело \(M\) может находиться в покое при \(M = \dfrac{16}{5}\,m\), а тело \(4m\) в покое не может находиться ни при какой массе тела \(M\).