Отражения фар в машине

Изображения фар второй машины находятся за зеркальной поверхностью первой на таком же расстоянии, как и сама машина. Через подобные треугольники выразите \(x\) через расстояние между машинами, а затем используйте график.

Обозначим искомую скорость второго автомобиля через \(v_2\). Пусть водитель Алексей находится в точке \(A\), удалённой от линии фар его машины на расстояние \(l\). Ответ не зависит от того, где по ширине автомобиля находится водитель. Обозначим расстояние между автомобилями через \(L\), ширину автомобилей, то есть расстояние между фарами \(S_1\) и \(S_2\), через \(b\).

Изображения фар второго автомобиля находятся в точках \(S'_1\) и \(S'_2\), удалённых от задней поверхности второго автомобиля на такое же расстояние \(L\). Алексей видит отражения своих фар в точках \(s_1\) и \(s_2\) на задней поверхности первого автомобиля. Треугольники \(As_1s_2\) и \(AS'_1S'_2\) подобны, их высоты из точки \(A\) равны \(h_1 = l + L\) и \(h_2 = l + 2L\). Поэтому \[\frac{s_1s_2}{h_1} = \frac{S'_1S'_2}{h_2} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{a}{l+L} = \frac{b}{l+2L},\] и \[x = \frac{a}{b} = \frac{l+L}{l+2L}.\] Из этого выражения видно, что ответ не зависит от того, где по ширине автомобиля находится водитель.

Обозначим относительную скорость автомобилей \(u = v_1 - v_2\). Тогда \(L = L_0 + ut\), где \(L_0 = 3\) м. Подставляя в формулу для \(x\), \[x(t) = \frac{l + L_0 + ut}{l + 2L_0 + 2ut}.\] Неизвестных две (\(l\) и \(u\)), поэтому нужны два уравнения. Берём значения графика в моменты \(t = 0\) с и \(t = 5\) с: \[t = 0\text{ с}:\quad 0{,}60 = \frac{l + 3}{l + 6}, \qquad t = 5\text{ с}:\quad 0{,}52 = \frac{l + 3 + 5u}{l + 6 + 10u},\] где длины в метрах. Решая систему, находим \(u \approx 3\) м/с. Тогда скорость второго автомобиля \[v_2 = v_1 - u \approx 20\text{ м/с} - 3\text{ м/с} = 17\text{ м/с}.\]