Аквариум с ускорением

В системе, связанной с аквариумом, на каждую массу действует дополнительная сила \(-m\vec a\). Какой становится поверхность воды и каков уровень воды у правой стенки?

Сила давления на дно находится из вертикального равновесия воды. Пусть \(\vec F_{\text{дно}}\) — сила давления воды на дно, тогда сила реакции опоры равна \(-\vec F_{\text{дно}}\). Второй закон Ньютона для воды в проекции на ось, направленную вниз: \[mg - F_{\text{дно}} = 0, \qquad m = \rho l b h.\] Силы реакции стенок горизонтальны и в покое, и при движении, поэтому уравнение верно и во время разгона: \[F_{\text{дно}} = \rho b l h g.\]

Для силы давления на стенку \(CD\) перейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с аквариумом. На массу \(m\) в ней действует сила \(-m\vec a\), и все массивные тела находятся в поле «модифицированной силы тяжести» \(\vec g' = -\vec a + \vec g\). Поверхность воды перпендикулярна \(\vec g'\), поэтому она образует угол \(\alpha\) с горизонталью, где \(\operatorname{tg}\alpha = a/g\).

При отклонении уровня воды от \(O'O''\) до \(PQ\) объём воды не меняется, треугольники \(POO'\) и \(O''OQ\) равны, и уровень воды у правой стенки \(CD\) равен \[|QD| = h - \frac{l}{2}\operatorname{tg}\alpha = h - \frac{la}{2g}.\] Давление на глубине \(x\) у правой стенки: расстояние до поверхности \(z = x\cos\alpha\), \(\cos\alpha = g/g'\), поэтому \[p(x) = \rho g' z = \rho g' x \cos\alpha = \rho g x.\] Давление на глубине \(x\) такое же, как если бы вода покоилась в наклонном положении в инерциальной системе. Задача сводится к силе давления столба воды высотой \(|QD|\) на вертикальную стенку ширины \(b\) в обычном поле тяжести. Давление меняется с глубиной линейно, поэтому среднее давление на стенку равно давлению на половине высоты столба \(\rho g|QD|/2\): \[F_{\text{бок}} = \left(\rho g\frac{|QD|}{2}\right)\cdot(|QD|\,b) = \frac{1}{2}\rho g\left(h - \frac{la}{2g}\right)^2 b.\] Эта формула верна, пока вода касается стенки \(CD\). При большом ускорении вода отходит от правой стенки (см. рисунок), и тогда \(F_{\text{бок}} = 0\). Условие этого случая: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{g} \ge \frac{2h}{l} \quad \Leftrightarrow \quad a \ge \frac{2gh}{l}.\] Объединяя, получаем \[F_{\text{бок}} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\rho g\left(h - \dfrac{la}{2g}\right)^2 b, & a < \dfrac{2gh}{l}; \\[2mm] 0, & a \ge \dfrac{2gh}{l}. \end{cases}\]