Нагрев резистора в калориметре

Пока лёд плавится, сопротивление не меняется, и мощность постоянна. После этого сопротивление растёт вместе с температурой. Запишите баланс тепла за малый промежуток времени; полезна аналогия с движением тела с ускорением.

Пока плавится лёд, температура содержимого не меняется, сопротивление равно \(R_0\), и мощность постоянна: \(P = U^2/R_0\). Время плавления всего льда: \[\lambda m = \frac{U^2}{R_0}\,t_1 \quad\Leftrightarrow\quad t_1 = \frac{\lambda m R_0}{U^2}.\] После плавления льда содержимое нагревается, сопротивление меняется со временем, и мощность уже не постоянна. Отсчитаем время от момента \(t_1\), так что \(T(0) = 0\,\text{°C}\), и \(R(t) = R_0 + \chi T(t)\).

За малый промежуток времени \(\Delta t\) мощность \(P(t) = U^2/R(t)\) можно считать постоянной. Всё выделившееся тепло идёт на нагрев воды (теплопотерь нет): \[\frac{U^2}{R(t)}\,\Delta t = cm\,\Delta T = \frac{cm}{\chi}\,\Delta R.\] Перепишем: \[\frac{\Delta t}{\Delta R} = aR, \qquad a = \frac{cm}{\chi U^2}.\] Формально замена \(t \to x\), \(R \to \tau\) даёт \(\dfrac{\Delta x}{\Delta \tau} = a\tau\). Это закон изменения мгновенной скорости \(v(\tau) = a\tau\) тела при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью и ускорением \(a\). Для него \(x(\tau) = x_0 + \dfrac{a\tau^2}{2}\). Возвращаясь к исходным переменным, \[t(R) = t_0 + \frac{aR^2}{2}.\] Начальное условие \(R(0) = R_0\) даёт \(t_0 = -aR_0^2/2\), откуда \[R(t) = \sqrt{\frac{2t}{a} + R_0^2} = \sqrt{\frac{2\chi U^2}{cm}\,t + R_0^2}.\] Используя \(R(T) = R_0 + \chi T\) и сдвиг начала отсчёта на \(t_1\), получаем зависимость температуры: \[T(t) = 0\,\text{°C}, \quad t \in [0, t_1]; \qquad T(t) = \frac{1}{\chi}\left(\sqrt{\frac{2\chi U^2}{cm}(t - t_1) + R_0^2} - R_0\right), \quad t \in [t_1, t_2].\] Момент \(t_2\), когда температура достигает \(T_*\): \[t_2 = \frac{cm}{2\chi U^2}\left((\chi T_* + R_0)^2 - R_0^2\right) + t_1.\] График зависимости температуры от времени — линия постоянной температуры \(0\,\text{°C}\) до \(t_1\), затем кривая, выходящая из точки \(t_1\) и заканчивающаяся в \((t_2, T_*)\).

Замечание организаторов: уравнение для \(\Delta R\) можно решить и без аналогии с кинематикой, методом разделения переменных; участники, верно использовавшие эту технику, также получают полный балл.