Бесконечная цепь из квадратов

Точки \(A\) и \(B\) на рисунке имеют одинаковый потенциал, поэтому их можно соединить без изменения сопротивления. Внутренняя структура повторяет исходную с вдвое меньшими сопротивлениями сторон.

Обозначим общее сопротивление цепи за \(X\). Точки \(A\) и \(B\) имеют равный потенциал, поэтому в них внутренний ромб можно отделить от внешнего квадрата. Этот ромб аналогичен исходному, но сопротивление каждой его стороны вдвое меньше; его общее сопротивление равно \(\dfrac{X}{2}\). Резистор \(X\) можно представить как параллельное соединение двух резисторов по \(X\), поделив внутренний и внешний ромб на две одинаковые части:

Обозначим \(R = \rho a\). Общее сопротивление среднего и верхнего проводов: \[R_1 = \frac{R\cdot\dfrac{R}{\sqrt2}}{R + \dfrac{R}{\sqrt2}} = \frac{1}{\sqrt2 + 1}R = (\sqrt2 - 1)R .\] Упрощённая схема:

Приравнивая общее сопротивление цепи \(2X\) к эквивалентному, получаем квадратное уравнение \[X^2 + (\sqrt2 - 1)RX - \frac{\sqrt2}{2}R^2 = 0 .\] Отбрасывая отрицательный корень, находим \[X = \frac{\sqrt3 - \sqrt2 + 1}{2}\,\rho a \approx 1{,}3\text{ Ом}.\]