Шайба и шероховатый клин

Закон сохранения импульса по горизонтали даёт скорость клина в момент вылета шайбы. Высоту клина найдите из закона сохранения энергии для падения шайбы с той же высоты.

Пусть в системе клина скорость шайбы в момент вылета равна \(\alpha v_0\), \(\alpha = \dfrac{1}{2}\), \(\varphi = 60^\circ\). Её горизонтальная компонента в системе клина \(\alpha v_0\cos\varphi\), а в лабораторной системе (где клин движется со скоростью \(V\)) она равна \(u_x = \alpha v_0\cos\varphi + V\).

Закон сохранения горизонтального импульса: \[m v_0 = m\left(\alpha v_0\cos\varphi + V\right) + 11m\,V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{v_0\left(1 - \alpha\cos\varphi\right)}{12}.\] Подставляя \(\alpha = \dfrac{1}{2}\) и \(\varphi = 60^\circ\), получаем \(V = \dfrac{v_0}{16}\).

В системе клина скорость шайбы \(\alpha v_0 = \dfrac{v_0}{2}\) под углом \(\varphi\): её компоненты \(\left(\dfrac{v_0}{4},\ \dfrac{\sqrt3}{4}v_0\right)\). В лабораторной системе горизонтальная компонента увеличивается на \(V\): \[u_x = \frac{v_0}{4} + \frac{v_0}{16} = \frac{5}{16}v_0, \qquad u_y = \frac{\sqrt3}{4}v_0 .\] Кинетическая энергия шайбы и клина в момент вылета: \[K_{\text{шайбы}} = \frac{1}{2}m\left(\frac{25}{256} + \frac{3}{16}\right)v_0^2 = \frac{73}{512}mv_0^2, \qquad K_{\text{клина}} = \frac{1}{2}\cdot 11m\left(\frac{v_0}{16}\right)^2 = \frac{11}{512}mv_0^2 .\] Высота клина: при падении шайбы с высоты \(h\) её скорость \(0{,}4v_0\), то есть \((0{,}4v_0)^2 = 2gh\), откуда \(h = 0{,}08\dfrac{v_0^2}{g}\) и \(mgh = \dfrac{2}{25}mv_0^2\).

Закон сохранения энергии с учётом тепловых потерь \(Q\): \[\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{73}{512}mv_0^2 + \frac{11}{512}mv_0^2 + \frac{2}{25}mv_0^2 + Q \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{819}{3200}mv_0^2 .\] Доля тепловых потерь: \[N = \frac{Q}{\frac{1}{2}mv_0^2} = \frac{819}{1600}.\]