Садовая поливалка

Площадь полива определяется квадратом горизонтальной дальности капли. Удобно записать перемещение капли за время полёта и найти его максимум.

Рассмотрим вектор перемещения капли \(\vec l\). Его зависимость от времени: \[\vec l = \vec v t + \frac{\vec g t^2}{2}.\] Площадь полива зависит от горизонтальной составляющей \(r\) перемещения капли к моменту падения на землю квадратично. Из векторной диаграммы

получаем \(\dfrac{g t^2}{2} = H + h\), тогда \[r^2 = (vt)^2 - h^2 = v^2\frac{2(H + h)}{g} - h^2 = -h^2 + \frac{2v^2}{g}h + \frac{2v^2H}{g}.\] Это парабола с ветвями вниз; её вершина даёт \[r^2_{\max} = \frac{2v^2H}{g} + \frac{v^4}{g^2}.\] При \(H = 0\) имеем \(r_0^2 = \dfrac{v^4}{g^2}\). Искомое отношение площадей: \[\frac{r^2_{\max}}{r_0^2} = 1 + \frac{2gH}{v^2} \approx 1{,}4 .\]