Брусок в разгоняющемся аквариуме

В ускоряющейся жидкости появляется горизонтальная составляющая силы Архимеда. Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси, параллельную плоскости и перпендикулярную ей, а затем условие для силы трения покоя.

Существует горизонтальная составляющая силы Архимеда, так как в ускоряющемся сосуде поверхность жидкости наклоняется, изменяя направление результирующей выталкивающей силы. Обозначим: \(F_{\text{А},x} = \rho V a\) — горизонтальная составляющая силы Архимеда; \(F_{\text{А},y} = -\rho V g\) — вертикальная составляющая силы Архимеда.

По второму закону Ньютона \(\sum \vec F = m\vec a\). Спроецируем это соотношение на оси, направленные вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей: \[\begin{cases} mg\sin\alpha - F_{\text{А},y}\sin\alpha - F_{\text{тр}} + F_{\text{А},x}\cos\alpha = -ma\cos\alpha, \\ N - mg\cos\alpha + F_{\text{А},y}\cos\alpha - F_{\text{А},x}\sin\alpha = -ma\sin\alpha . \end{cases}\] Отсюда сила реакции опоры и сила трения: \[N = V\left[(\rho' - \rho)g\cos\alpha - (\rho' - \rho)a\sin\alpha\right],\] \[F_{\text{тр}} = V\left[(\rho' - \rho)g\sin\alpha + (\rho' - \rho)a\cos\alpha\right].\] Скольжение начинается, когда сила трения покоя достигает предельного значения \(F_{\text{тр}} \le \mu N\). Получаем неравенство для ускорения: \[a \le \frac{g(-\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}.\] Подстановка численных данных даёт отрицательное значение, что означает: чтобы брусок не скользил вниз, сосуд нужно ускорять в противоположном направлении с ускорением \[a \ge 9{,}8\,\frac{\sin 30^\circ - 0{,}3\cos 30^\circ}{\cos 30^\circ + 0{,}3\sin 30^\circ} \approx 2{,}3\text{ м/с}^2 .\]