Безупречный баланс

Перегородка покоится, значит, силы давления жидкостей на неё равны. Сила давления на стенку высоты \(H\) пропорциональна \(\rho H^2\). Затем запишите правило рычага для коромысла.

Объёмы жидкостей равны и сосуд прямоугольный, поэтому \(4a\cdot D\cdot H_l = 5a\cdot D\cdot H_r\), то есть \(\dfrac{H_l}{H_r} = \dfrac54\), где \(D\) — ширина сосуда, \(H_l\) и \(H_r\) — уровни жидкостей.

Сила давления жидкости плотности \(\rho\) на стенку высоты \(H\) и ширины \(D\) имеет вид \(F = C\rho g D H^2\) (из соображений размерности; мысленный эксперимент даёт \(\alpha = 1\)). Перегородка неподвижна, силы давления равны: \[\rho_l H_l^2 = \rho_r H_r^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\rho_l}{\rho_r} = \left(\frac{H_r}{H_l}\right)^2 = \frac{16}{25}.\]

Правило рычага для коромысла с плечами \(2b\) и \(b\) (объём поплавка \(V\)): \[2b\left(V\cdot 1~\text{г/см}^3 - \tfrac23 V\rho_l\right)g = b\left(V\cdot 1~\text{г/см}^3 - \tfrac13 V\rho_r\right)g \quad\Rightarrow\quad 4\rho_l - \rho_r = 3~\text{г/см}^3 .\]

Решая систему, получаем \(\rho_l = \dfrac{16}{13}\) г/см\(^3\) и \(\rho_r = \dfrac{25}{13}\) г/см\(^3\).