Бермудский квадрат

Вертикальные линии карты — меридианы, горизонтальные — параллели. Длина дуги параллели меньше длины дуги меридиана той же угловой меры: найдите радиусы этих окружностей на Земле.

Пусть радиус Земли \(R\). Вертикальные стороны карты (меридианы) — дуги больших окружностей радиуса \(R\); горизонтальные (параллели) — окружности радиуса \(R\cos\varphi\), где \(\varphi\) — широта.

Маршрут \(AB\) — меридиан между широтами \(60^\circ\)N и \(30^\circ\)S, угловая мера \(90^\circ\), длина \(\ell_{AB} = \dfrac{\pi R}{2}\). Маршрут \(BCDA\) состоит из четырёх дуг: \(BC\) — параллель \(30^\circ\)S, радиус \(\dfrac{\sqrt3}{2}R\), угловая мера \(90^\circ\), длина \(\dfrac{\sqrt3\pi R}{4}\); \(CD\) — меридиан, длина \(\dfrac{\pi R}{2}\); \(DA\) — параллель \(60^\circ\)N, радиус \(\dfrac R2\), угловая мера \(90^\circ\), длина \(\dfrac{\pi R}{4}\). Итого \[\ell_{BCDA} = \frac{(3+\sqrt3)\pi R}{4}.\] Скорость постоянна, поэтому \[T = 10~\text{ч}\cdot\frac{\ell_{BCDA}}{\ell_{AB}} = 10~\text{ч}\cdot\frac{3+\sqrt3}{2} = 5\left(3+\sqrt3\right)~\text{ч} \approx 23~\text{ч}~40~\text{мин}.\]