Задачи › Переходные процессы в RC-цепях, ток через конденсатор

Неидеальные конденсаторы

  1. Неидеальные конденсаторы

    IPhO 2020/21, 11 кл.
    6/10

    Дифференциальную емкость (именно она всегда далее подразумевается далее под словом «емкость») можно определить, зная зависимость напряжения от времени \(U(t)\) и тока от напряжения \(I(U)\) при зарядке конденсатора через резистор \(R_1\):

    \[C(U)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}U}=\frac{I\mathrm{d}t}{\mathrm{d}U}=\frac{I\left(U\right)}{\mathrm{d}U/\mathrm{d}t}.\]

    Электрическая схема, используемая в этом эксперименте, показана на рис. 1.1. Ключ S1 на плате используется для переключения между конденсаторами C1 и C2. Среднее положение ключа не нужно в данном эксперименте, не используйте его.

    Рисунок

    Внимание: Один из предоставленных конденсаторов содержит диэлектрик с диэлектрической проницаемостью, зависящей от скорости изменения напряжения конденсатора. Для того чтобы обеспечить постоянную скорость зарядки используется следующий подход. Если вы проводите измерения для положительных напряжений, уменьшайте напряжение от 9 В в сторону –9 В. И наоборот, для отрицательных напряжений увеличивайте напряжение от –9 В в сторону 9 В. Измеряемая емкость может зависеть от предшествующего состояния конденсатора. Поэтому перед началом измерений подержите конденсатор при стартовом напряжении в течение 10 секунд минимум.

    Часть A. Конденсаторы при комнатной температуре (4.0 балла)

    A1. Проведите необходимые измерения при комнатной температуре.

    Постройте совместно в одних координатах графики \(C_1(U)\) и \(C_2(U)\) в диапазоне от –7 В до 7 В.

    В листе ответов запишите значения \(C_1\) и \(C_2\) при 0 В, 3 В и 6 В.

    Запишите формулу расчета емкости через измеряемые величины.

    Также запишите номер платы (Board ID) и температуру в комнате.

    A2. При некотором напряжении величина \(\left(\frac{\mathrm{d}C\left(U\right)}{C\left(U\right)\mathrm{d}U}\right)\) максимальна.

    В листе ответов отметьте, для какого из конденсаторов (C1 или C2) эта величина больше.

    Укажите также напряжение \(U_{\max\,\mathrm{change}}\), при котором это наибольшее значение достигается.

    A3. Какие заряды \(q_1\) и \(q_2\) будут на конденсаторах C1 и C2 к моменту достижения 6 В?

    Часть B. Калибровка NTC-термистора (1.0 балл)

    Измерьте напряжение на NTC-термисторе при известной комнатной температуре (измеренной термометром). NTC-термистор – это термистор с отрицательным температурным коэффициентом.

    Формула, связывающая его сопротивление и температуру, приведена в Инструкции к оборудованию G1 под номером (1).

    B1. Найдите постоянную NTC-термистора \(R_0\).

    Часть C. Конденсаторы при различных температурах (3.0 балла)

    C1. Проведите необходимые измерения при температурах 40 °C, 65 °C и 85 °C и постройте графики \(C_1(U)\) и \(C_2(U)\) в диапазоне от –7 В до 7 В.

    C2. Постройте графики \(C_1(T)\) и \(C_2(T)\) при 0 В и 6 В в диапазоне от комнатной температуры до 85 °C.

    C3. В листе ответов запишите отношение \(C(85\:^\circ \mathrm{C})/C(40\:^\circ \mathrm{C})\) для обоих конденсаторов C1 и C2 при 0 В и 6 В.

    Часть D. Источники погрешностей измерений (2.0 балла)

    Предыдущие части этого эксперимента предполагают длительную зарядку конденсатора. Однако, если речь идет о коротких временах перезарядки (\(0.1\dots 10\) с), могут возникать следующие источники погрешностей:

    1. Ток утечки.

    2. Поляризационные свойства диэлектрика в конденсаторе. Можно считать, что диэлектрическая проницаемость зависит от временных параметров.

    Внимание: теплоизолирующий материал может поглощать влагу из воздуха и становиться проводником. Уберите его, когда будете проводить измерения, связанные с током утечки.

    Определите основной источник погрешности при измерениях C1 и C2. Так как утечка в конденсаторе и входные токи вольтметра зависят от напряжения, оцените эти погрешности при напряжении, близком к 9 В. Придумайте, какие дополнительные измерения и при каких условиях должны быть проведены, чтобы ответить на эти вопросы. В своих ответах на последующие вопросы D.1 и D.2 укажите условия, при которых вы проводили измерения, какие величины измеряли и какие выводы сделали. Примеры приведены в таблицах ниже.

    Примечание: это всего лишь примеры того, как схематически описать свои измерения; вам нужно самостоятельно определить необходимые условия измерений.

    Примеры того, как должны быть записаны ответы на вопросы D.1 и D.2:

    Рисунок
    Рисунок

    D1. Какой основной источник погрешности измерения \(C_1(9\:\mathrm{V})\)? Приведите все шаги измерений в таблицах.

    D2. Какой основной источник погрешности измерения \(C_2(9\:\mathrm{V})\)? Приведите все шаги измерений в таблицах.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Решение

    A1. Зарядим конденсатор до \(\approx-9~В\) с помощью W2. Соединим конденсатор с источником напряжения \(+9\mathrm V\) с помощью провода W1 и измерим зависимость напряжения на нём от времени. Когда конденсатор полностью зарядится, измерим максимальное напряжение \(U_{\max}\). Ёмкость рассчитывается по формуле:\[C(U)=\frac{U_{\max}-U(t)}{R_1}\Bigg/\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}.\]Аналогично сделаем при противоположной полярности. Чтобы увеличить точность, будем использовать при расчёте ёмкости только те точки, для которых \(U(t)\) и \(U_{\max}\) имеют противоположный знак.

    \(C_1\)\(C_2\)
    \(0~В\)\(0.100~мкФ\)\(0.473~мкФ\)
    \(3~В\)\(0.100~мкФ\)\(0.183~мкФ\)
    \(6~В\)\(0.100~мкФ\)\(0.086~мкФ\)
    Рисунок

    Результаты получены при комнатной температуре \(29\,{}^\circ\mathrm C\)

    A2. \(U_{\max \mathrm{change}}=1.6~В\) на конденсаторе \(C_2\)

    A3. \[q_1=0.60~мкКл,\quad q_2=1.3~мкКл\]

    Примечание: для конденсатора \(C_2\) необходимо посчитать интеграл \(\displaystyle\int\limits_{0~В}^{6~В}C(U)\,\mathrm dU\), а не просто умножить \(C(6~В)\cdot6~В\).

    B1. \[R_0=\frac{U_{T_0}R_3}{U-U_{T_0}}e^{-B/T}=0.0341~Ом,\]где \(U=3.3~В\), \(U_{T_0}\) – значение uT при комнатной температуре, \(T\) – температура в Кельвинах.

    C1.

    Рисунок

    \(C_1(U,T)\) – константа, \(C_2(U)\) – максимальна при \(0~В\)

    C2.

    Рисунок

    \(C_1(T)\) – константа

    C3. \[C_1(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_1(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{0~В}=1.00\\C_1(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_1(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{6~В}=1.00\\C_2(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_2(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{0~В}=0.63\\C_2(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_2(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{6~В}=1.06\]

    D1. Начальные параметры:

    Положение \(S_1\)Соединение \(\rm IN\)
    \(C_1\)\(-9\mathrm V\) или \(\mathrm{GND}\)

    Процесс:

    Номер шагаПоложение \(S_1\)Соединение \(\rm IN\)Длительность, \(с\)Измеряемая переменная
    1\(C_1\)\(+9\mathrm V\)\(0.2~с\) (сгодится любой короткий промежуток времени)
    2\(C_1\)\(\mathrm{Free}\)\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)
    3\(C_1\)\(+9\mathrm V\)\(5~с\) (должен быть много больше предыдущего)
    4\(C_1\)\(\mathrm{Free}\)\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)

    Обоснование: \(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_2= |\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_4\)

    Основной источник погрешности: 1 (Ток утечки)

    D2. Начальные параметры:

    Положение \(S_1\)Соединение \(\rm IN\)
    \(C_2\)\(-9\mathrm V\) или \(\mathrm{GND}\)

    Процесс:

    Номер шагаПоложение \(S_1\)Соединение \(\rm IN\)Длительность, \(с\)Измеряемая переменная
    1\(C_2\)\(+9\mathrm V\)\(0.2~с\) (сгодится любой короткий промежуток времени)
    2\(C_2\)\(\mathrm{Free}\)\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)
    3\(C_2\)\(+9\mathrm V\)\(5~с\) (должен быть много больше предыдущего)
    4\(C_2\)\(\mathrm{Free}\)\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)

    Обоснование: \(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_2\gg |\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_4\)

    Основной источник погрешности: 2 (Поляризационные свойства диэлектрической среды в конденсаторе)

    Перевод: pho.rs.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх