Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Цепочка проволочных кубов с источниками

  1. Цепочка проволочных кубов с источниками

    МОШ 2015/16, 11 кл.
    6/10

    Имеется цепочка, которая состоит из 2015 проволочных кубов, содержащих одинаковые источники напряжения с внутренними сопротивлениями \(r\) и внешние нагрузки \(R_1\) (синие), \(R_2\) (красные) и \(R_3\) (зелёные), соединённых так, как показано на рисунке. При каком значении сопротивления \(R_1\) на внешних нагрузках будет выделяться максимальная суммарная мощность (значения \(R_2\) и \(R_3\) красных и зелёных резисторов известны)? Получите ответ в общем виде и в частном случае \(\varepsilon = 2\) В, \(r = 1\) Ом, \(R_2 = 2\) Ом, \(R_3 = 3\) Ом. Изобразите график зависимости мощности, выделяющейся на синем резисторе, от его сопротивления \(P_\text{с}(R_1)\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выделите два соседних контура с источниками и посмотрите на симметрию: течёт ли ток по красным и зелёным резисторам, соединяющим эти контуры? Что тогда остаётся от схемы?

    Ответ

    В общем виде: \(R_1 = r\), мощность на красных и зелёных нагрузках \(P_\text{к} = P_\text{з} = 0\) Вт, \(P_\text{с} = \dfrac{\varepsilon^2}{4R_1}\); в частном случае \(R_1 = r = 1\) Ом и \(P_\text{с} = \dfrac{\varepsilon^2}{4R_1} = 1\) Вт.

    Решение

    Если рассмотреть два любых соседних контура (с источниками), которые соединены красными и зелёными нагрузками так, как показано на рисунке, то из симметрии следует, что по этим нагрузкам ток не течёт.

    Рисунок

    Следовательно, во всей цепочке ток через красные и зелёные нагрузки течь не будет. Значит, \(P_\text{к} = P_\text{з} = 0\) Вт. Остаётся рассмотреть схему, изображённую на рисунке.

    Рисунок

    На нагрузке \(4R_1\) выделяется мощность, равная \[P_\text{с} = \left(\frac{\varepsilon}{r + R_1}\right)^2 R_1.\]

    Если изучить функцию \(P_\text{с}(R_1)\), то оказывается, что максимальное значение эта функция принимает при \(r = R_1 = 1\) Ом. При этом на одном синем резисторе будет выделяться мощность, равная \(P_\text{с} = \dfrac{\varepsilon^2}{4R_1} = 1\) Вт. Качественно график \(P_\text{с}(R_1)\) выглядит следующим образом:

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх