Найдите величины и направления ускорений осей всех блоков, изображённых на рисунке. Массы бруска и верхнего блока равны соответственно \(M\) и \(m\). Остальные блоки невесомы, нить также невесома и нерастяжима. Трение в осях блоков пренебрежимо мало. Нити по блокам не проскальзывают, не лежащие на блоках участки нитей вертикальны. В начальный момент система покоилась.

\(a_1 = a_2 = a_3 = 0\), \(a_5 = g\), \(a_4 = -2g\) (ось \(x\) направлена вниз, т. е. ось блока 4 движется вверх с ускорением \(2g\)); \(\omega_1 = \omega_3 = 0\); блок 4 вращается по часовой стрелке, блоки 2 и 5 "— против.

Ускорения блоков — МОШ 2015/16, 11 кл., задача 6

Ускорения блоков
МОШ 2015/16, 11 кл.
6/10
Найдите величины и направления ускорений осей всех блоков, изображённых на рисунке. Массы бруска и верхнего блока равны соответственно \(M\) и \(m\). Остальные блоки невесомы, нить также невесома и нерастяжима. Трение в осях блоков пренебрежимо мало. Нити по блокам не проскальзывают, не лежащие на блоках участки нитей вертикальны. В начальный момент система покоилась.

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Невесомый блок не может нести ненулевую разность натяжений, а к невесомому блоку 4 прикреплена нить от оси блока 5. Выясните, какие нити не натянуты, а затем запишите связь координат блоков через длину нерастяжимой нити.
Ответ
\(a_1 = a_2 = a_3 = 0\), \(a_5 = g\), \(a_4 = -2g\) (ось \(x\) направлена вниз, т. е. ось блока 4 движется вверх с ускорением \(2g\)); \(\omega_1 = \omega_3 = 0\); блок 4 вращается по часовой стрелке, блоки 2 и 5 "— против.
Решение
Поскольку блок 4 невесом, сила натяжения нижней нити (прикреплённой к оси блока 5) равна нулю, и \(a_5 = g\). Из невесомости блоков 2 и 3 следует равенство нулю силы натяжения также и верхней нити, перекинутой через блоки 1 и 3. Стало быть, массивный блок 1 вращаться не будет, и положения блоков 2 и 3 будут неизменными. Блок 3, очевидно, вращаться тоже не будет. Для определения ускорения оси блока 4 и направлений вращения блоков 2, 4 и 5 выразим длину \(l\) нити, перекинутой через блоки 2, 4 и 5, через координаты соответствующих блоков: \[l = x_4 - x_3 + x_4 - x_2 + x_5 - x_2 + x_5 - x_4 + \delta = -2x_2 - x_3 + x_4 + 2x_5 + \delta,\] где \(\delta\) "— сумма длин полуокружностей блоков 2, 4 и 5, а \(x_2\) и \(x_3\) постоянны.

Дважды дифференцируя это равенство по времени, получим: \[\ddot x_4 + 2\ddot x_5 = 0,\] откуда \[\ddot x_4 = -2\ddot x_5 = -2g.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Ускорения блоков

Ускорения блоков

Похожие задачи