Три рычага и три гири

Введите неизвестные массы, распределённые между рычагами в каждой вершине, и запишите условие равновесия каждого рычага. Какие значения допускают введённые переменные?

Условием равновесия системы будет являться равновесие всех трёх рычагов. Вес гирь, стоящих в вершинах треугольника, при этом может быть произвольно распределён между рычагами, соединяющимися в соответствующей вершине. Нумеруя вершины треугольника по часовой стрелке (третья вершина соответствует гире \(M_3\)), напишем уравнения равновесия всех трёх рычагов: \[x_1 = 2x_2, \qquad (8 - x_2) = 2x_3, \qquad M_3 - x_3 = 8 - x_1.\] Введённые обозначения отмечены на рисунке 11. При этом на \(x_1\) и \(x_2\) есть естественные ограничения: \(0 \le x_1, x_2 \le 8\).

Из первого уравнения видно, что \(x_2\) может находиться в интервале от нуля до четырёх килограммов. Действительно, иначе масса \(x_1\) должна будет превышать 8 кг, что невозможно. Также легко заметить, что при любом допустимом значении \(x_2\) значение \(x_1\) также оказывается удовлетворяющим наложенным ограничениям. Поэтому осталось лишь выразить искомую массу \(M_3\) через \(x_2\): \[x_3 = \frac{8 - x_2}{2}, \qquad M_3 = 8 - x_1 + x_3 = 8 - 2x_2 + 4 - \frac{x_2}{2} = 12 - \frac{5}{2}x_2.\] Отсюда видно, что при минимальном значении \(x_2 = 0\) масса \(M_3\) оказывается равной 12 кг, при максимальном значении \(x_2 = 4\) кг масса \(M_3\) оказывается равной 2 кг. А значит, при любых значениях \(M_3\) из указанного интервала массы остальных гирь сумеют перераспределиться по рычагам так, чтобы система оказалась в равновесии.