Кубики в воде и керосине

Из конфигурации блоков видно, что кубики движутся согласованно. Сравните силы Архимеда в начальный момент с весами кубиков: в каком направлении будет двигаться система и может ли нижний кубик полностью оказаться в керосине?

Из конфигурации блоков видно, что оба кубика будут либо двигаться одновременно вниз, либо одновременно вверх. Вычислим плавучести кубиков в начальный момент. Силы тяжести, действующие на кубики, равны и составляют \(F_T = 68\) Н. Объёмы кубиков равны \(V = 8\cdot 10^{-3}\) м\(^3\). Тогда сила Архимеда, действующая на верхний кубик, равняется \[F_1 = \rho_k g V = 8\cdot 10^{-3}\cdot 10\cdot 800 = 64~\text{Н},\] а на нижний \[F_2 = \rho g V = 8\cdot 10^{-3}\cdot 10\cdot 1000 = 80~\text{Н}.\] Тогда суммарная сила, действующая на оба кубика, равняется \(F_1 + F_2 - 2F_T = 8\) Н и направлена вверх, т.е. кубики начнут одновременно всплывать.

Сразу можно отметить, что нижний кубик не всплывёт настолько, чтобы оказаться целиком в керосине. Действительно, в этом случае силы Архимеда, действующие на кубики, не превышали бы \(F_1 = 64\) Н (сила Архимеда верхнего кубика может быть ещё меньше, если он торчит из воды), а силы тяжести равны тем же 68 Н, то есть это никак не могло бы быть положением равновесия.

Тогда положение равновесия будет выглядеть так, как показано на рисунке 9; нам необходимо определить неизвестную длину \(x\). Её можно найти из уравнения баланса сил: три из четырёх действующих на кубики сил нам известны — две силы тяжести \(F_T\) и сила Архимеда на верхний кубик \(F_1\). Таким образом, осталось лишь выразить силу, действующую на нижний кубик со стороны воды, через \(x\). Сила Архимеда вызывается разностью давлений жидкости, действующих на нижнюю и верхнюю грани кубика. Вычислим эту разность: \[\Delta P = \rho_k g x + \rho g (a - x).\] И тогда сила со стороны жидкости равняется \(a^2\,\Delta P = a^2\bigl(\rho_k g x + \rho g (a - x)\bigr)\). Подставив это выражение в условие равновесия системы, вычислим \(x\): \[F_1 + a^2\bigl(\rho_k g x + \rho g (a - x)\bigr) - 2F_T = 0.\] Отсюда

\[a^2\bigl(\rho_k g x + \rho g(a - x)\bigr) = 72~\text{Н},\] \[4\cdot 10^{-2}\bigl(8\cdot 10^{2}\cdot 10x + 10^{3}\cdot 10(0{,}2 - x)\bigr) = 72,\] \[80x + 20 - 100x = 18 \;\Rightarrow\; 20x = 2 \;\Rightarrow\; x = 0{,}1~\text{м}.\] Таким образом, нижний кубик возвышается над границей раздела жидкостей на 10 сантиметров (т.е. на половину своей длины), а верхняя грань верхнего бруска — на 70 сантиметров.