Ледяной диск в конусе

Выразите радиус диска через высоту, на которой он находится, и подумайте, какая величина пропорциональна мощности нагревателя: теплота, идущая на плавление, или изменение площади диска?

На протяжении решения задачи греческими буквами мы будем обозначать различные постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов нам будут неизвестны, но и не важны.

Заметим, что радиус диска прямо пропорционален высоте, на которой находится диск: \(R_D = \alpha\tilde h\). При равномерном движении высота, на которой находится диск, линейно уменьшается со временем: \(\tilde h(t) = h - \beta t\). Отсюда и радиус диска линейно уменьшается со временем: \[R_D(t) = \alpha\tilde h(t) = \alpha(h - \beta t) = \alpha h - \alpha\beta t = R_0 - \gamma t.\] Здесь \(R_0\) — радиус диска в начальный момент времени.

Мощность, которую тратит нагреватель, пропорциональна изменению площади диска за единицу времени. Действительно, мощность за единицу времени — это теплота, которую нагреватель передал ледяному диску. Эта теплота идёт на плавление льда. А количество растаявшего льда, соответственно, прямо пропорционально теплоте, которую льду передали. В свою очередь, изменение площади диска пропорционально радиусу диска. Действительно, если радиус уменьшился на маленькое значение \(\delta R\), то площадь уменьшилась на \(2\pi R\,\delta R\).

Отсюда можно записать: \(P(t) = \nu R_D(t)\). Подставляя уже полученное выражение для зависимости радиуса диска от времени (значения коэффициентов пропорциональности нам всё ещё не известны), получаем \[P(t) = \nu(R_0 - \gamma t) = P_0 - \mu t.\] Видим, что зависимость мощности от времени представляет собой линейную функцию, и её графиком будет прямая. Однако нам неизвестен коэффициент \(\mu\). Но его несложно определить из условия того, что мощность должна обнулиться, когда диск дойдёт до низа конуса. Это произойдёт через 25 секунд после начального момента, поэтому \(\mu = P_0/25\). Осталось лишь построить график.