Жгут барона Мюнхгаузена

Сначала найдите растяжение каждой части жгута под грузом. Затем сообразите, как связаны жёсткость части и её длина, и составьте уравнение на суммарную длину трёх частей.

Сначала определим длину каждой из частей жгута в растянутом виде. Это можно сделать без составления системы уравнений. Действительно, к каждой из частей жгута будет подвешен груз массой 10 кг. Это значит, что сила натяжения каждой из частей будет равна 100 Н. А это значит, что их суммарное растяжение будет таким же, как если бы к целому жгуту подвесить груз массой 10 кг. То есть общее растяжение трёх частей жгута будет равно \(\Delta l = F/k = 2\) м.

Отсюда суммарная длина трёх частей жгута с подвешенными грузами будет равняться 7 м, и можно определить длину каждой из частей жгута: \[x + (x+1) + (x+2) = 7 \;\Rightarrow\; x = \frac{4}{3}~\text{м}.\]

Осталось определить начальную длину кусков жгута. Научимся сначала находить жёсткость частей жгута. Заметим: если жгут растягивать с силой \(F\), его длина увеличится на \(\delta l\) согласно закону Гука \(F = k\,\delta l\). Каждая из половин жгута при этом растянулась на \(\delta l/2\). Значит, жёсткость половины жгута равняется \(2k\). Аналогично, жёсткость отрезка жгута длины \(l_1\) равняется \(k_1 = \dfrac{L}{l_1}k\), где \(L\) — длина всего жгута.

Обозначим за \(y\) длину части жгута в растянутом виде, за \(l\) — его длину в нерастянутом, и напишем уравнение, связывающее \(y\) и \(l\): \[y = l + \frac{F}{k} = l + \frac{F}{kL/l} = l + \frac{Fl}{kL} = l\Bigl(1 + \frac{F}{kL}\Bigr) = l\Bigl(1 + \frac{100}{50\cdot 5}\Bigr) = 1{,}4\,l.\] Таким образом, начальная длина каждой из частей жгута в \(1{,}4\) раза меньше их длин в растянутой версии.