Растягивающиеся перчатки

Силу измерить нечем, но если растянуть полосы разной ширины одной общей силой, то напряжения в них различаются как обратные площади сечений; объём латекса при растяжении сохраняется.

i) (1 балл) Вырежем несколько полос из материала одинаковой постоянной ширины и отметим на каждой две перпендикулярные линии вблизи концов полосы, оставляя достаточно места для закрепления или привязывания. Затем свернём одну полосу вдоль в цилиндрическую форму для растяжения. Измерим начальную длину между отмеченными линиями \(l_0\). С помощью прямой рулетки, закреплённой на поверхности стола, растянем одну из полос до разрыва, определяя максимальную длину между линиями перед разрывом полосы \(l_{\max}\). Повторим это не менее трёх раз, чтобы проверить воспроизводимость данных. Вычислим результат \(\varepsilon_{\max}=(l_{\max}-l_0)/l_0\).

В нашем измерении получилось \(\varepsilon_{\max}=5{,}5\).

ii) (7 баллов) Теоретические соображения.

Можно считать, что материал имеет однородную толщину. Зная, что \(\sigma=F/A\), \(V=\text{const}\) и что любая сила, приложенная к полосе, одинаково действует на все направления, перпендикулярные приложенной силе, в любой момент для одной и той же полосы имеем \[V=a\cdot a\cdot k\cdot l=a_0\cdot a_0\cdot k\cdot l_0=a_{\max}\cdot a_{\max}\cdot k\cdot l_{\max},\] где \(a_0\) — начальная толщина материала без приложенной силы, а \(l_0\) — начальная длина полосы без приложенной силы, \(a\) — толщина при приложенной силе \(F\), а \(l\) — длина полосы при приложенной силе \(F\), \(a_{\max}\) и \(l_{\max}\) — соответствующие значения при силе разрыва \(F_{\max}\).

\(k\) — отношение ширины \(d\) к толщине \(a\) полосы такое, что \(d=k\cdot a\), где \(k\) остаётся постоянным для полосы при растяжении. Следовательно, \[\sigma=\frac{F}{a\cdot a\cdot k}\quad\text{и}\quad\sigma_{\max}=\frac{F_{\max}}{a_{\max}\cdot a_{\max}\cdot k}.\] Из \(V=\text{const}\) можно вывести, что \(a\cdot a=a_0\cdot a_0\cdot\dfrac{l_0}{l}\) и \(a_{\max}\cdot a_{\max}=a_0\cdot a_0\cdot\dfrac{l_0}{l_{\max}}\).

Если бы мы могли прикладывать одну и ту же силу \(F\) к полосам разной начальной ширины \(d=k\cdot a\), мы могли бы изменять натяжение для каждой полосы. Поэтому для каждого измерения мы использовали бы разные полосы с разными значениями \(k\): \[\sigma=\frac Fk\cdot\frac l{l_0}\cdot\frac1{a_0\cdot a_0}\quad\text{и}\quad\sigma_{\max}=\frac F{k_{\max}}\cdot\frac{l_{\max}}{l_0}\cdot\frac1{a_0\cdot a_0},\] где \(k=d/a\) и \(k_{\max}=d_{\max}/a_{\max}\) — отношения ширины к толщине для соответствующих полос, использованных для \(F\) и \(F_{\max}\). Объединяя написанное выше, получаем \[\frac{\sigma}{\sigma_{\max}}=\frac{k_{\max}}{k}\cdot\frac{l}{l_{\max}},\] но поскольку \(d_0=k\cdot a_0\) — начальная нерастянутая ширина одной полосы, а \(d_{\max0}=k_{\max}\cdot a_0\) — начальная нерастянутая ширина другой полосы, растянутой до разрыва, то для построения графика это преобразуется к виду \[\frac{\sigma}{\sigma_{\max}}=\frac{d_{\max0}}{d_0}\cdot\frac{l}{l_{\max}}\quad\text{для оси }Y\quad\text{и}\quad\varepsilon=\frac{l-l_0}{l_0}\quad\text{для оси }X .\]

Измерения.

Можно считать, что материал имеет однородную толщину. Мы хотим приложить одну и ту же силу к полосам с разной начальной шириной.

Подход 1. Мы делаем много полос разной ширины, отмечаем на них одну и ту же начальную длину \(l_0\) с помощью перпендикулярных линий, измеряем и записываем начальные ширины \(d_0\) каждого отрезка, затем сворачиваем их вдоль в цилиндрическую форму и связываем одну за другой. Сила будет одинаковой для всех отрезков, но значение \(\sigma\) для каждого отрезка будет зависеть от начальной ширины отдельной полосы.

Рекомендуется диапазон, в котором \(d_{\min}\) и \(d_{\max}\) отличаются не менее чем в 8 раз.

Сворачивание полосы вдоль в цилиндрическую форму перед связыванием даёт возможность равномерно распределить силу по всем полосам независимо от ширины полосы!

Наше решение: сделать две одинаковые полосы наименьшей возможной ширины и прикрепить их друг к другу на одном конце, образовав форму буквы \(Y\). Ранее определённое \(\varepsilon_{\max}\) использовали, чтобы оценить возможное максимальное растяжение почти до разрыва самой узкой полосы. В случае разрыва одинаковая запасная полоса на другом конце буквы \(Y\) могла использоваться для измерения. После закрепления многоширинной <<верёвки>> из объединённых полос в положении максимального растяжения были записаны значения \(l\) для каждого отдельного участка. Затем <<верёвку>> растягивали до разрыва, чтобы найти реальную длину разрыва \(l_{\max}\) самой узкой полосы.

Контрольная полоса шириной 7 мм и начальной длиной 80 мм порвалась при длине 522 мм. Поэтому измерение на <<верёвке>> из полос проводили с силой \(F\), растягивающей вторую контрольную полосу шириной 7 мм и длиной 80 мм до 519 мм.

Но полоса 7 мм порвалась, когда её растянули до 599 мм.

Итак, \(d_{\max0}=7\) мм и \(l_{\max}=599\) мм.

И график: \(\sigma/\sigma_{\max}\) по оси \(Y\) и \(\varepsilon\) по оси \(X\).

Подход 2. Из самого длинного доступного куска материала мы делаем два одинаковых вытянутых треугольника. Отмечаем на треугольниках равноудалённые перпендикулярные линии. (Линии перпендикулярны центральной линии симметрии вытянутого треугольника.)

Записываем начальную длину \(l_0\) и среднюю ширину \(d_0\) каждого отрезка, определяемого перпендикулярными линиями. При растяжении ко всем отрезкам будет приложена одна и та же сила, но у каждого отрезка будет своё \(\sigma\). Основание вытянутого треугольника нужно прикрепить к линейке скотчем (соединение должно быть хорошим и прочным), а линейку прикрепить к столу. К столу была приклеена длинная полоса миллиметровой бумаги, чтобы резиновый треугольник растягивался над ней.

Треугольник растягивали, пока отрезок узкого конца не оказался близок к разрыву, и значения \(l\) были записаны для каждого отрезка. (Проще всего это делать, отмечая маркером на миллиметровой бумаге, одной рукой удерживая узкий конец треугольника в фиксированном положении другой рукой.) Один из треугольников на самом деле растянули до разрыва, другой треугольник растянули до разрыва только после того, как измерение было сделано.

Отрезок узкого конца первого треугольника длиной 10 мм и средней шириной 6 мм порвался при длине 73,1 мм. Поэтому измерение на втором аналогичном треугольнике проводили с силой \(F\), растягивающей отрезок узкого конца треугольника до 72,6 мм. Реальный разрыв отрезка узкого конца второго треугольника произошёл при длине 73,7 мм.

Итак, \(d_{\max0}=6\) мм и \(l_{\max}=73{,}7\) мм.

И график: \(\sigma/\sigma_{\max}\) по оси \(Y\) и \(\varepsilon\) по оси \(X\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.