Сто грузов на пружинах

Смещение груза равно сумме удлинений всех пружин над ним. Удлинение пружины пропорционально весу, который она держит, а нижние пружины держат меньше всего грузов.

В положении равновесия все пружины растянуты, и смещение 100-го груза равно сумме удлинений всех пружин. Самая нижняя (сотая сверху) пружина растягивается весом \(mg\), 99-я — весом \(2mg\), 98-я — весом \(3mg\) и т.д. Поэтому по закону Гука \[\Delta l = \frac{mg}{k} + \frac{2mg}{k} + \dots + \frac{100\,mg}{k} = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + \dots + 100) .\] Используя формулу суммы натуральных чисел от 1 до \(N\), \[1 + 2 + \dots + N = \frac{N(N+1)}{2} ,\] получим \[\Delta l = \frac{mg}{k}\cdot\frac{100\cdot101}{2} .\]

Найдём теперь смещение 50-го груза. Проще всего найти удлинение пружин от 51-й до 100-й и вычесть его из \(\Delta l\). Суммарное удлинение пружин с 51-й по 100-ю равно \[\Delta x = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + \dots + 50) = \frac{mg}{k}\cdot\frac{50\cdot51}{2} .\] Отсюда смещение 50-го груза \[\Delta l_1 = \Delta l - \Delta x = \frac{mg}{k}\left(\frac{100\cdot101}{2} - \frac{50\cdot51}{2}\right) = \frac{50\,mg}{2k}\,(202 - 51) = \frac{50\cdot151\,mg}{2k} .\] Сравнивая с \(\Delta l\), находим \[\Delta l_1 = \frac{151}{202}\,\Delta l .\]