Плотность изоленты

Объём рулона можно выразить и через его длину, толщину и ширину, и через внешний и внутренний диаметры. Для массы используйте лист миллиметровки известной массы как рычаг и правило моментов.

Отрежем от листа бумаги белые края, оставив только миллиметровую сетку. Размеры получившегося листа \(a = (20{,}0 \pm 0{,}1)\) см, \(b = (28{,}0 \pm 0{,}1)\) см. Скрутим миллиметровку в максимально плотную трубочку (разлиновкой наружу) вдоль длинной стороны \(b\). Закрепим края очень узкими полосками изоленты, отрезанными от основного рулона. Эту трубочку используем как линейку и как рычаг. Масса трубочки \[M = ab\sigma = 4{,}48 \pm 0{,}04~\text{г}.\] Ширина изоленты \(l = (19 \pm 1)\) мм, внешний диаметр рулона \(D = (72 \pm 1)\) мм, внутренний диаметр рулона (без учёта картонной втулки) \(d = (44 \pm 1)\) мм. Объём рулона можно выразить через длину \(L\), толщину \(h\) и ширину \(l\): \[V = Lhl,\] а также через диаметры и ширину: \[V = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4}\,l.\] Из этих двух выражений \[h = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4L} = (127 \pm 9)~\text{мкм}.\] Заводское значение толщины изоленты \(0{,}13\) мм.

Для второго и третьего пунктов необходимо измерить массу изоленты. В этой задаче это можно сделать только с помощью известной массы листа миллиметровой бумаги. Используем бумажную трубочку как рычаг. Подвесим её на нитке и определим положение центра масс, уравновесив трубочку в горизонтальном положении. Далее будем отрезать от изоленты отрезки длиной \(b = 28\) см (равные длине бумажного рычага) и последовательно наматывать их заподлицо на край бумажной трубочки. Обозначим массу одного отрезка \(m_0\). Снимем зависимость смещения \(x\) центра масс системы «рычаг + лента» от количества \(n\) отрезков изоленты длиной \(28\) см, намотанных на рычаг.

Правило моментов относительно точки подвеса для горизонтального рычага: \[Mgx = n\,m_0\,g\left(\frac{b}{2} - \frac{l}{2} - x\right).\] После преобразований \[\frac{1}{n} = \frac{1}{x}\cdot\frac{m_0}{M}\,\frac{b - l}{2} - \frac{m_0}{M}.\] Зависимость \(\dfrac{1}{n}\) от \(\dfrac{1}{x}\) линейная; угловой коэффициент этой зависимости \(k = \dfrac{m_0}{M}\cdot\dfrac{b - l}{2}\) даёт массу отрезка \(m_0\) длиной \(28\) см. Строим график \(\dfrac{1}{n}(\dfrac{1}{x})\).

С помощью графика находим \(k = (24{,}4 \pm 1{,}2)\) мм, или \(m_0 = (0{,}84 \pm 0{,}06)\) г.

Линейная плотность изоленты \[\lambda = \frac{m_0}{b} = (3{,}0 \pm 0{,}2)~\text{г/м}.\] Объёмная плотность изоленты \[\rho = \frac{\lambda}{hl} = (1{,}24 \pm 0{,}24)~\text{г/см}^3.\]