Шайба на четырёх участках

Подберите начальную скорость перпендикулярно оси \(Y\) так, чтобы шайба пересекла ось \(X\) в точке \((h, 0)\) и повернула на следующую четверть такой же, как исходная. Движение с постоянным ускорением похоже на бросок под углом \(45^{\circ}\) в поле тяжести с \(g = a\).

Рассмотрим движение шайбы в первой четверти. Будем искать такую траекторию, что движение в остальных четвертях будет аналогичным движению в первой. Для этого достаточно, чтобы шайба пересекала ось \(X\) при выходе из первой четверти в точке \((h, 0)\) и двигалась со скоростью, по модулю равной начальной, направленной под тем же углом, что и начальная (но уже относительно другой оси). Тогда движение во второй четверти аналогично движению в первой, движение в третьей — аналогично второй, в четвёртой — аналогично третьей. Получается замкнутая траектория, ведь при выходе из четвёртой четверти шайба находится в точке \((h, 0)\) и движется с начальной скоростью.

Выпустим шайбу с начальной скоростью \(\vec v_0\), перпендикулярной оси \(Y\). Движение шайбы в плоскости с постоянным ускорением \(\vec a\) аналогично движению тела в поле тяжести с ускорением свободного падения \(\vec a\). Поэтому рассмотрим тело, брошенное под углом \(45^{\circ}\) к горизонту. Его горизонтальная составляющая скорости сохраняется, а по закону сохранения энергии, если оно приземлится на том же уровне, что и стартовало, то модуль его скорости окажется равным модулю начальной скорости. Единственное ограничение: тело должно приземлиться на расстоянии \(\sqrt{2}h\) от места бросания.

Тогда для горизонтальной составляющей скорости: \[\frac{1}{\sqrt2} v_0 t = \sqrt2 h \quad\Rightarrow\quad v_0 = \frac{2h}{t},\] где \(t\) — время полёта тела до приземления. Уравнение перемещения по вертикальной оси (противоположной ускорению \(\vec a\)) с учётом \(\Delta r = 0\) даёт \[\frac{1}{\sqrt2} v_0 t = \frac{a t^2}{2} .\] Из этих уравнений \[t = \sqrt{\frac{2\sqrt2\,h}{a}}, \qquad v_0 = \sqrt{\sqrt2\,ha} .\] Период такого движения, то есть время одного оборота, равно \(4t\).