Сосуды на пружинах

Запишите второй закон Ньютона для меньшего поршня и для меньшего сосуда; сначала определите, растянута ли верхняя пружина.

Будем считать, что первая пружина растянута, а вторая сжата. Если это не так, получим отрицательное значение силы, то есть она направлена в другую сторону. Первая пружина растянута, поэтому поршень давит на воду: иначе суммарная сила, действующая на сосуд без учёта первой пружины, была бы направлена вверх или равна нулю, и тогда \(mg \le \rho g V\), откуда \(l \ge m/(\rho S_2) = 10\) см — вторая пружина не была бы сжата, что противоречит тому, что на неё сверху давит столб воды.

Силы: \(F_{\text{г1}} = k_1(h - l_1)\), \(F_{\text{г2}} = k_2(l_2 - l)\); давление воды сверху на меньший поршень \(F_{\text{давл1}} = \left(\rho g h + \dfrac{k_1(h-l_1)}{S_1}\right)S_2\), снизу на меньший сосуд \(F_{\text{давл2}} = \left(\rho g(h+l) + \dfrac{k_1(h-l_1)}{S_1}\right)S_2\). Второй закон Ньютона для меньшего поршня и для меньшего сосуда (в проекциях на вертикальную ось): \[\begin{cases} k_1(h - l_1) + k_2(l_2 - l) = \rho g h S_2 + k_1(h-l_1)\dfrac{S_2}{S_1},\\[2mm] k_2(l_2 - l) + mg = \rho g (h + l) S_2 + k_1(h-l_1)\dfrac{S_2}{S_1}. \end{cases}\] Решая систему, получаем \(h = 14\) см и \(l = 5\) см (обозначения — по рисунку официального решения).

Высота большего сосуда, объём которого складывается из объёма воды и объёма меньшего сосуда: \[H = \frac{V_{\text{в}} + l\,S_2}{S_1} = \frac{20\,000 + 5\cdot 100}{500} = 41~\text{см}.\] Расстояние от дна большего сосуда до дна меньшего: \(41 - 14 - 5 = 22\) см.