Лёд под дождём

Составьте уравнение теплового баланса для растаявшего льда за время \(t\): тепло от остывающей дождевой воды и от воздуха идёт на плавление. Во втором пункте учтите, что до \(0^{\circ}\)C лёд успевает нагреться и намерзнуть.

Найдём, сколько дождевой воды попадает на лёд за время \(t\). Капли за это время пролетят расстояние \(vt\), значит, на поверхность сосуда попадёт объём воды \(vtS\) и масса \(\rho vtS\). Вода при температуре \(T_0\) остывает до \(0^{\circ}\)C, отдавая тепло \(c_{\text{в}}\rho vtS\,T_0\). Кинетической энергией капель пренебрегаем: она мала по сравнению с теплом, которое нужно для плавления.

Тепло, пришедшее в лёд из воздуха за это время, равно \(kT_0 t\), так как температура смеси льда и воды постоянна и равна \(0^{\circ}\)C. Всё тепло идёт на плавление массы \(m\): \[c_{\text{в}}\rho vtS\,T_0 + kT_0 t = m\lambda \quad\Rightarrow\quad t = \frac{m\lambda}{c_{\text{в}}\rho vS T_0 + kT_0} .\]

2. Изменение массы льда линейно по времени \(\tau\), которое нужно льду, чтобы нагреться до \(0^{\circ}\)C; за это время намерзает масса \(\rho v\tau S\). Поэтому изменение времени плавления \[\Delta t_{\text{плавл}} = \frac{\rho vS\lambda}{c_{\text{в}}\rho vS T_0 + kT_0}\,\tau .\] Температура льда линейно меняется со временем: \(T(t) = T_x + \alpha t\), \(\alpha = T_x/\tau\). Тепло, которое забрал лёд за время \(dt\) при нагревании, равно \(Q = c_{\text{л}} m\alpha\,dt\). Тепло, полученное льдом от капель, равно \(Q_1 \approx \rho vS\lambda\,dt\) (первое и третье слагаемые малы), а от воздуха \(Q_2 \approx \tilde k T_0\,dt\). Уравнение теплового баланса \(Q_1 + Q_2 = Q\) даёт \[\alpha = \frac{\rho vS\lambda + \tilde k T_0}{c_{\text{л}} m} , \qquad \tau = \frac{T_x c_{\text{л}} m}{\rho vS\lambda + \tilde k T_0} .\] Итоговое изменение: \[\Delta t = \tau + \Delta t_{\text{плавл}} = \tau\left(1 + \frac{\rho vS\lambda}{c_{\text{в}}\rho vS T_0 + kT_0}\right).\]