Две шайбы на гладкой и шероховатой половинах

Сравните средние скорости шайб: пути относятся как \(2:1\), время одно. Оцените, могла ли правая шайба к моменту встречи ещё двигаться, и тогда найдите ускорение торможения из её остановки в точке \(C\).

\(\bar v_{\text{л}}=\dfrac{4v}{7-2\sqrt2}\), \(\bar v_{\text{п}}=\dfrac{2v}{7-2\sqrt2}\).

Предположим, что \(AB=l\).

1) Правая шайба до столкновения прошла путь \(S_{\text{п}}=\dfrac l3\), левая — \(S_{\text{л}}=\dfrac{2l}{3}=2S_{\text{п}}\). Средняя скорость движения левой шайбы \(\bar v_{\text{л}}<v\), поскольку часть времени она тормозится трением. Средняя скорость правой шайбы \(\bar v_{\text{п}}=\dfrac{\bar v_{\text{л}}}{2}<\dfrac v2\).

2) Если бы правая шайба к моменту встречи двигалась со скоростью \(v_1\), её средняя скорость была бы больше половины начальной: \(\bar u=\dfrac{v+v_1}{2}>\dfrac v2\). Из этого следует, что к моменту столкновения правая шайба покоилась в точке \(C\).

3) Если сила трения на правой половине площадки вызывает ускорение шайбы \(a\), то условие её остановки в точке \(C\): \(v^2=2al/3\).

4) Левая шайба за время ускоренного (замедленного) движения \(t\) проходит путь \[\frac l6=vt-\frac{at^2}{2}=vt-\frac{3v^2t^2}{4l}.\] Решая уравнение, находим \(t=\dfrac{(2-\sqrt2)\,l}{3v}\).

5) Полное время движения левой шайбы \[T=\frac{l}{2v}+\frac{(2-\sqrt2)\,l}{3v}=\frac{(7-2\sqrt2)\,l}{6v},\] её средняя скорость \(\bar v_{\text{л}}=\dfrac{2l}{3T}=\dfrac{4v}{7-2\sqrt2}\), средняя скорость правой шайбы \(\bar v_{\text{п}}=\dfrac{l}{3T}=\dfrac{2v}{7-2\sqrt2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.