Нить между телами на шероховатом участке

Запишите натяжение нити для трёх положений: оба тела на гладком столе, только второе на шероховатом, оба на шероховатом. Разности натяжений выражаются через коэффициенты трения по отдельности.

\(\dfrac{\mu_1}{\mu_2}=\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\).

1) Рассмотрим общий случай, когда система тел разгоняется под действием силы \(F\), а на каждое из тел действует своя сила трения (см. рисунок). Из второго закона Ньютона получаем систему уравнений \[\begin{cases} (m_1+m_2)a=F-\mu_1 m_1 g-\mu_2 m_2 g,\\ m_1 a=T-\mu_1 m_1 g. \end{cases}\] Откуда для натяжения нити имеем \[T=\frac{m_1}{m_1+m_2}\bigl(F+m_2 g(\mu_1-\mu_2)\bigr).\] Из этого общего результата следуют частные случаи. Когда система двигалась по гладкому столу, начальное натяжение нити было \[T_0=\frac{m_1}{m_1+m_2}F.\]

2) Когда второе тело стало скользить по шероховатому участку, а первое ещё оставалось на гладком столе, \[T_1=\frac{m_1}{m_1+m_2}\bigl(F-m_2 g\mu_2\bigr).\] 3) Когда оба тела оказались на шероховатом участке, \[T_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}\bigl(F+m_2 g(\mu_1-\mu_2)\bigr).\] 4) Из последних трёх равенств следуют два равенства для изменений натяжений: \[\Delta T_1=T_0-T_1=\frac{T_0}{F}\,m_2 g\,\mu_2;\qquad \Delta T_2=T_2-T_1=\frac{T_0}{F}\,m_2 g\,\mu_1.\] 5) Беря отношение, получим ответ: \(\dfrac{\mu_1}{\mu_2}=\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.