Промах при упругом ударе шайб

Путь скольжения шайбы после удара пропорционален квадрату её скорости, поэтому расстояния можно сравнивать через скорости. При нецентральном упругом ударе одинаковых шайб они разлетаются под прямым углом.

\(L_1=\dfrac{L}{\sqrt2}\).

1) Кинетическая энергия, которую получает шайба в результате удара, равна работе силы трения при последующем её скольжении до точки остановки: \(\dfrac{mv^2}{2}=\mu mgS\). Здесь \(m\) — масса шайбы, \(\mu\) — коэффициент её трения о лёд, \(S\) — длина скольжения шайбы после удара. Скорость шайбы непосредственно после удара \(v=\sqrt{2\mu gS}\).

2) Из законов сохранения энергии и импульса следует, что при центральном соударении одинаковых шайб налетающая шайба останавливается, а ранее неподвижная приходит в движение, принимая скорость налетающей шайбы. Кинетическая энергия налетающей со скоростью \(v_0\) шайбы \[\frac{mv_0^2}{2}=\mu mgL. \tag{1}\] 3) При втором опыте шайбы выстраиваются вдоль линии под углом \(90^\circ\) к направлению начальной скорости (см. рисунок). Предположим, что при этом они после удара летят под углами \(\alpha\) и \(\beta\) к направлению начальной скорости. Их скорости непосредственно после удара \(v_1=\sqrt{2\mu gS_1}=\sqrt{2\mu gS_0/\cos\alpha}\), \(v_2=\sqrt{2\mu gS_0/\cos\beta}\). Из закона сохранения импульса в направлении, перпендикулярном направлению начальной скорости, следует, что \(mv_1\sin\alpha-mv_2\sin\beta=0\), откуда \(\alpha=\beta\) и \(v_1=v_2\).

4) Закон сохранения энергии \(\dfrac{mv_0^2}{2}=mv_1^2\) и продольного импульса \(mv_0=2mv_1\cos\alpha\) дают значение \(\alpha=45^\circ\) и \(v_1^2=v_0^2/2\), откуда с учётом (1) \(S_1=S_2=L/2\).

Искомое расстояние \(L_1=S_1\sqrt2=L/\sqrt2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.