Термистор, лазер и диод
9/10Десятиклассник Паша, познакомившись на прошедшем региональном этапе со свойствами термистора, решил собрать электрическую цепь, состоящую из источника, ЭДС которого можно регулировать, резистора сопротивлением \(r = 40\) Ом, а также соединённых между собой параллельно диода и термистора (см. рис. 1). ЭДС источника можно изменять в пределах от 0 В до некоторого достаточного большого значения \(\mathcal{E}_{max}\).
Паше известно, что вольт-амперная характеристика диода имеет вид, представленный на рис. 2, а температурная зависимость сопротивления термистора задаётся формулой \[R(t) = R_0/(1 + \alpha(t - t_0))^2,\] где \(R_0 = 60\) Ом — сопротивление термистора при комнатной температуре \(t_0\) (значение константы \(\alpha\) мальчик не нашёл). Включив источник и медленно увеличивая его ЭДС, Паша обнаружил, что диод открывается при ЭДС источника \(\mathcal{E}_1 = 5\) В.
Продолжая свои эксперименты, Паша взял мощный лазер и стал светить им прямо на термистор. Оказалось, что диод при этом закрылся и, более того, никакие изменения ЭДС источника не приводили к его открытию! Определите минимальную тепловую мощность \(P\), передаваемую при этом от лазера термистору.
Выключив лазер, Паша обнаружил, что диод остался закрытым, несмотря на то, что ЭДС источника была близка к \(\mathcal{E}_{max}\). Удивившись, мальчик стал плавно уменьшать ЭДС. При каком максимальном значении ЭДС источника \(\mathcal{E}_2\) диод снова откроется?
Напряжение на открытом диоде равно \(U_0 = 2\) В. Теплоёмкостью термистора и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Термистор во всех экспериментах находится в воздухе, имеющем температуру \(t_0\), не контактируя с другими предметами.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаПока диод закрыт, весь ток идёт через термистор, а диод откроется, когда напряжение на термисторе дойдёт до \(U_0\). Запишите баланс мощностей термистора и выразите напряжение на нём через температуру: у этой зависимости есть максимум.
Ответ1) \(P = \dfrac{k}{\alpha}\left(\dfrac{R_0 k/\alpha}{4U_0^2} - 1\right) = 37{,}5\) мВт (здесь \(k/\alpha = 0{,}3\) Вт); 2) \(\mathcal{E}_2 = 14\) В.
РешениеКогда диод открывается, напряжение на нём и на термисторе равно \(U_0\), а сила тока через диод равна нулю. Поэтому сила тока, протекающего через резистор \(r\) и термистор, равна \(I = (\mathcal{E}_1 - U_0)/r\). С другой стороны, \[I = U_0/R_0\cdot(1 + \alpha(t_1 - t_0))^2,\] где \(t_1\) — температура термистора в данном режиме. Приравнивая эти выражения, находим, что \[\alpha(t_1 - t_0) = \sqrt{\frac{R_0}{r}\cdot\frac{(\mathcal{E}_1 - U_0)}{U_0}} - 1 = 0{,}5.\] Тепловая мощность, выделяющаяся на термисторе, должна в установившемся режиме рассеиваться в окружающий воздух. Поэтому \[\frac{U_0^2}{R_0}\cdot(1 + \alpha(t_1 - t_0))^2 = k(t_1 - t_0),\] где \(k\) — коэффициент в законе Ньютона-Рихмана. Выразим из данного выражения величину \(k/\alpha\): \[\frac{k}{\alpha} = \frac{U_0^2}{R_0}\cdot\frac{(1 + \alpha(t_1 - t_0))^2}{\alpha(t_1 - t_0)} = 0{,}3\text{ Вт}.\] Рассмотрим теперь случай, когда на термистор светят лазером. Запишем условие баланса мощностей при напряжении на термисторе, равном \(U\): \[\frac{U^2}{R_0}\cdot(1 + \alpha(t - t_0))^2 + P = k(t - t_0).\] Выразим \(U^2\): \[U^2 = R_0\cdot\frac{k(t - t_0) - P}{(1 + \alpha(t - t_0))^2} \tag{*}\] и найдём максимум этой функции. Обозначая \(z = \alpha(t - t_0 - P/k)\), получим \[U^2 = \frac{R_0 k/\alpha\cdot z}{(1 + \alpha P/k + z)^2} = \frac{R_0 k/\alpha}{\left(\frac{1 + \alpha P/k}{\sqrt z} + \sqrt z\right)^2}.\] Далее используем неравенство о средних: \[U^2 \leqslant U_{max}^2 = \frac{R_0 k/\alpha}{4(1 + \alpha P/k)}.\] Если диод не открывается при любой ЭДС источника, \[U_{max} \leqslant U_0 \quad\Rightarrow\quad P \geqslant \frac{k}{\alpha}\cdot\left(\frac{R_0 k/\alpha}{4U_0^2} - 1\right) = 0{,}0375\text{ Вт}.\] Таким образом, минимальная тепловая мощность, которую должен передавать лазер, чтобы диод закрылся при любой \(\mathcal{E}\), равна \(37{,}5\) мВт.
Для того чтобы понять, почему диод после выключения лазера не открылся, заметим, что выражение \((*)\) при \(P = 0\) тоже имеет максимум, а следовательно напряжение на термисторе может быть меньше \(U_0\) как при малых токах (и малых ЭДС), так и при больших токах (и, соответственно, больших ЭДС). Подставив в \((*)\) значения \(U_0\), \(R_0\), \(k/\alpha\) и \(P = 0\), получим уравнение \[\frac{\alpha(t - t_0)}{(1 + \alpha(t - t_0))^2} = \frac29,\] которое имеет два корня: первый нам уже известен \[\alpha(t_1 - t_0) = 1/2,\] а второй — новый \[\alpha(t_2 - t_0) = 2.\] Рассчитаем для него ЭДС источника, считая ток через диод равным нулю: \[\mathcal{E}_2 = I_2 r + U_0 = \frac{U_0 r}{R_0}(1 + \alpha(t_2 - t_0))^2 + U_0 = \frac{9U_0 r}{R_0} + U_0 = 14\text{ В}.\] Таким образом, ЭДС источника надо уменьшить до 14 В, чтобы диод снова открылся.