Стержень на шарнире в двух жидкостях

Найдите угол наклона стержня по высоте \(2H\), затем длины его частей в каждой жидкости. Запишите равенство моментов сил тяжести и Архимеда относительно шарнира.

\(\rho = \dfrac{\rho_2}{4} + \dfrac{3\rho_1}{4}\).

Диаметр сосуда много больше длины стержня, поэтому при погружении уровни жидкостей не меняются. Угол \(\alpha\) стержня с вертикалью: \(\cos\alpha = \dfrac{2H}{L}\).

Нижняя часть стержня находится в жидкости \(\rho_2\), её длина \(l_2 = \dfrac{H}{\cos\alpha} = \dfrac{L}{2}\). Верхняя часть в жидкости \(\rho_1\) имеет длину \(l_1 = L - l_2 = \dfrac{L}{2}\). Центр нижней части — на расстоянии \(L/4\) от шарнира, верхней — на \(3L/4\).

Реакция опоры в шарнире момента относительно шарнира не даёт, поэтому правило моментов относительно точки крепления: $$\rho S L g\cdot\frac{L}{2}\sin\alpha = \rho_2 S \frac{L}{2} g\cdot\frac{L}{4}\sin\alpha + \rho_1 S \frac{L}{2} g\cdot\frac{3L}{4}\sin\alpha.$$ Отсюда \(\rho = \dfrac{\rho_2}{4} + \dfrac{3\rho_1}{4}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.