Тело из цилиндра и конуса в воде

Работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии системы «тело и вытесненная вода». Для этого нужно знать, где находится центр масс вытесненной воды, и условие плавания.

\(A = -\rho_в g\pi R^2\left(\dfrac{H^2}{2} + \dfrac{19Hh}{81} + \dfrac{11h^2}{324}\right)\);  \(\rho_к = \dfrac{3}{h}\left(\rho_в\left(H + \dfrac{19h}{81}\right) - \rho_ц H\right)\).

Тело меняет сечение при погружении, поэтому используем энергетический подход: работа внешней силы равна изменению энергии системы «тело и вытесненная вода».

Погружённый объём: цилиндр целиком и часть конуса, которая ниже уровня воды. Эта часть — усечённый конус высотой \(h/3\) с радиусами \(R\) и \(2R/3\): $$V_{погр} = \pi R^2H + \frac{\pi h}{9}\left(R^2 + \frac{2R^2}{3} + \frac{4R^2}{9}\right) = \pi R^2\left(H + \frac{19h}{81}\right).$$

Координата центра вытесненной воды, отсчитанная от дна тела: $$Z_m = \frac{V_{ц}\cdot\dfrac{H}{2} + V_{к,погр}\left(H + \dfrac{11h}{76}\right)}{V_{ц} + V_{к,погр}} = \frac{\dfrac{H^2}{2} + \dfrac{19Hh}{81} + \dfrac{11h^2}{324}}{H + \dfrac{19h}{81}},$$ где \(V_{\text{ц}} = \pi R^2H\), \(V_{\text{к,погр}} = \dfrac{19\pi R^2h}{81}\), а \(\dfrac{11h}{76}\) — расстояние от основания усечённого конуса до его центра масс.

Высота, на которую нужно опустить тело: \(\Delta h = H + \dfrac{h}{3}\). Изменение высоты вытесненной воды: \(x = Z_m - \Delta h\). Условие плавания: \(m = \rho_в V_{\text{погр}}\). Тогда изменение энергии системы $$A = \Delta U = -mg \Delta h - \rho_в g V_{погр} x = -\rho_в g\pi R^2\left(\frac{H^2}{2} + \frac{19Hh}{81} + \frac{11h^2}{324}\right).$$

Равновесие без внешней силы: масса тела равна массе вытесненной воды, \(\pi R^2\left(\rho_ц H + \dfrac{\rho_к h}{3}\right) = \rho_в\pi R^2\left(H + \dfrac{19h}{81}\right)\), откуда $$\rho_к = \frac{3}{h}\left(\rho_в\left(H + \frac{19h}{81}\right) - \rho_ц H\right).$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.