Деталь из двух кубиков в воде

Найдите среднюю плотность детали и сравните её с плотностью воды. Если тело плавает, найдите объём вытесненной воды. Положение устойчиво, если центр масс тела лежит ниже центра масс вытесненной воды; сравните эти две точки для двух возможных расположений кубиков.

Деталь плавает, погружена на \(89\%\) объёма (над водой 8 см\(^3\) из 72 см\(^3\)). Устойчивое положение: кубик с меньшим ребром (плотность 4000 кг/м\(^3\)) — внизу, кубик с большим ребром — сверху. Уровень воды поднимется на \(\Delta h=0{,}64\) см.

Чтобы понять, будет ли тело плавать, найдём его среднюю плотность. Объёмы кубиков \(V_1=a^3\), \(V_2=b^3\), массы \(M_1=\rho_1V_1\), \(M_2=\rho_2V_2\): $$\rho_{ср}=\dfrac{M_1+M_2}{V_1+V_2}=0{,}89 г/см^3<\rho_{в}.$$ Тело плавает и погружено на \(89\%\) своего объёма. Из равенства сил Архимеда и тяжести объём вытесненной воды \(V_{\text{выт}}=64\) см\(^3\).

Чтобы выяснить, как кубики расположены в воде, сравним центр масс детали и центр плавучести (центр масс вытесненной фигуры жидкости). Центр масс двух спаянных кубиков, если кубик с меньшим ребром внизу: $$Z_m=\dfrac{m_1z_1+m_2z_2}{M}=\dfrac{\rho_1S_1a\cdot\frac{a}{2}+\rho_2S_2b\left(a+\frac{b}{2}\right)}{\rho_1S_1a+\rho_2S_2b},  S_1=a^2, S_2=b^2.$$ Центр масс вытесненной фигуры (плотность которой равна плотности воды) находится аналогично; \(h\) — глубина погружения, \(h-a\) — высота погружённой части верхнего кубика, если нижний погружён полностью: $$Z=\dfrac12\cdot\dfrac{S_1a^2+S_2(h^2-a^2)}{S_1a+S_2(h-a)}.$$

Если кубик с плотностью 500 кг/м\(^3\) находится снизу, то \(h=4\) см, \(Z=h/2=2\) см, а центр масс тела находится на высоте \(3{,}5\) см от дна. Положение неустойчивое.

В другом случае, когда снизу кубик с плотностью 4000 кг/м\(^3\), \(h=5{,}5\) см, \(Z=3{,}41\) см, \(Z_m=2{,}5\) см. Поскольку \(Z_m<Z\), положение устойчивое.

Уровень воды поднимется на $$\Delta h=\dfrac{V_{выт}}{S}=\dfrac{64 см^3}{100 см^2}=0{,}64 см.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.