Гвозди на неравноплечных весах
Имеется \(N\) одинаковых гвоздей. Гвозди насыпают в две банки, которые затем уравновешивают на неравноплечных весах. Расстояние между банками равно \(d\). Конкретное значение \(d\) — неизвестно. Сколько гвоздей нужно переложить из первой банки во вторую, чтобы можно было подвинуть опору весов в сторону второй банки на расстояние \(kd\) (\(k<1\)) при условии сохранения равновесия?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите условие равновесия до и после переноса гвоздей, где перенесённая масса \(m\) действует на плече с учётом сдвига опоры. Масса переложенных гвоздей пропорциональна их числу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(l=kN\) гвоздей.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеВсе обозначения введены на рисунке.
Условия равновесия для первой ситуации (сразу сократили на \(g\)): $$m_1x=m_2y, x+y=d.$$ Равновесие для второй ситуации: $$(m_1-m)(x+kd)=(m_2+m)(y-kd).$$ Объединяем все три уравнения в систему и решаем: $$kd(m_1+m_2)=m(x+y)=md,$$ откуда $$k(m_1+m_2)=m.$$
Пусть масса одного гвоздя \(m_0\), \(l\) — количество переложенных гвоздей. Тогда очевидны соотношения: $$m_1+m_2=m_0N, m=m_0l.$$ Подставляем: \(km_0N=m_0l\). Откуда искомое количество гвоздей $$l=kN.$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Взвешивание на коромысле МОШ 2000/01, заключительный этап, 8 кл.
- Система открывания двери МОШ 2011/12, заключительный этап, 8 кл.
- Стержень с грузами и блок МОШ 2012/13, заключительный этап, 8 кл.
- Горизонтальный стержень с блоками МОШ 2012/13, заключительный этап, 9 кл.
- Грузы в воде на стержне МОШ 2012/13, отборочный этап, 9 кл.
- Шарики на стержне в воздухе и жидкости МОШ 2012/13, отборочный этап, 8 кл.