Нитка с катушки
Швейная машинка подаёт нитку с катушки с постоянной скоростью. Замечено, что радиус намотки нитки на катушку уменьшился в \(k\) раз за время \(t\). За какое время \(T\) после этого радиус намотки ещё раз уменьшится в \(k\) раз? Считайте, что нитка сматывается по сечению катушки также равномерно. Справка: возможно будет полезна формула площади окружности: \(S=\pi r^2\), где \(r\) — радиус окружности, а \(\pi\approx3{,}14\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите уменьшение площади сечения намотки через радиус и через скорость подачи нитки и толщину нитки. Сравните два случая.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T=\dfrac{t}{k^2}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПусть начальный радиус равен \(k^2r\); затем он уменьшается до \(kr\). Площадь намотки уменьшится на $$\Delta S=\pi\left(k^4r^2-k^2r^2\right)=\pi k^2(k^2-1)r^2.$$ С другой стороны, \(\Delta S=Vtd\), где \(V\) — скорость подачи нитки, \(d\) — толщина нитки. Отсюда $$\pi k^2(k^2-1)r^2=Vtd. (1)$$
Далее радиус намотки ещё раз уменьшается в \(k\) раз: был \(kr\), стал \(r\). Аналогично имеем $$\pi(k^2-1)r^2=VTd. (2)$$
Делим уравнение (1) на уравнение (2): $$k^2=\dfrac{t}{T} \Rightarrow T=\dfrac{t}{k^2}.$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Сок из опавших яблок Санкт-Петербургская 2014/15, отборочный этап, 7 кл.
- Две трубы и бочка МОШ 2018/19, отборочный этап, 7 кл.
- Дворник и листопад Росатом 2018/19, отборочный этап, 7 кл.
- Дворник и листопад Росатом 2018/19, отборочный этап, 8 кл.
- Мыло Санкт-Петербургская 2018/19, отборочный этап, 7 кл.
- Резервуар и две трубки МОШ 2021/22, отборочный этап, 7 кл.