Дворник и листопад

Листья продолжают падать, пока дворник идёт. Пусть за единицу времени на всю дорожку падает \(n\) листьев. Сколько листьев из падающих за время прохода дворник соберёт, а сколько останется?

Пусть на всю дорожку в единицу времени падает \(n\) листьев. А поскольку они падают равномерно и дворник ходит с постоянной скоростью, при проходе по всей дорожке на ней остаётся половина того количества листьев, которые упали за время прохода, а половину этих листьев он сметёт. Действительно, пусть к моменту начала прохода вся дорожка была чистая. Тогда в каждой точке дорожки дворник сможет смести те листья, которые упадут от начала его прохода то того времени, как он в этой точке оказался. То есть в течение небольшого времени в начале дорожке, половины времени в середине, почти полное время — в конце. А останутся — почти все листья в начале дорожки, упавшие в течение половины времени в середине, и ничего в конце. Поэтому если дворник проходит по дорожке в течение времени \(t\), на ней остаются к моменту окончания прохода \[\frac{1}{2}\,nt\] листьев и столько же листьев он сметает. Учтём теперь вышеизложенное и составим систему уравнений для определения искомых величин.

Итак, пусть к моменту начала прохода на дорожке лежат \(N\) листьев. Тогда дворник, пройдя до конца дорожки в одну сторону, сметет с неё эти листья и половину того количества, которое упало за время прохода. Или \[N + \frac{1}{2}\,nt = 1200 .\] При этом половина листьев, упавших за время прохода, останется. Когда дворник пройдёт в обратную сторону, он сметет эти листья и ещё \(nt/2\) листьев, которые упадут на дорожку за время обратного прохода. Поэтому \[nt = 120 .\] А \(nt/2\) листьев, которые упадут на дорожку за время обратного прохода, на ней останутся. А поскольку до начала следующего прохода пройдёт время \(t_0 - 2t\) (\(t_0 = 60\) минут), то к началу следующего прохода на дорожке будут лежать \[N = n\left(t_0 - 2t\right) + \frac{1}{2}\,nt\] листьев. Отсюда и предыдущих формул получаем систему \[\begin{cases} nt\left(\dfrac{t_0}{t} - 1\right) = 1200 \\ nt = 120 \end{cases}\] Решая систему уравнений, найдём \[t = \frac{t_0}{11} = 5{,}45 \text{ минут} .\] Значит, проход в обе стороны Иван Иваныч делает за \(10{,}9\) минуты. А после того, как дворник возвращается, на дорожке останется \(nt/2 = 60\) листьев.