Дворник и листопад

Пусть на всю дорожку в единицу времени падает \(n\) листьев. А поскольку они падают равномерно и дворник ходит с постоянной скоростью, при проходе по всей дорожке на ней остается половина того количества листьев, которые упали за время прохода, а половину этих листьев он сметет. Действительно, пусть к моменту начала прохода вся дорожка была чистая. Тогда в каждой точке дорожки дворник сможет смести те листья, которые упадут от начала его прохода до того времени, как он в этой точке оказался. То есть в течение небольшого времени в начале дорожки, половины времени в середине, почти полное время — в конце. А останутся почти все листья в начале дорожки, упавшие в течение половины времени в середине, и ничего в конце. Поэтому если дворник проходит по дорожке в течение времени \(t\), на ней остаются к моменту окончания прохода \[\tfrac{1}{2}\,nt\] листьев и столько же листьев он сметает.

Пусть к моменту начала прохода на дорожке лежат \(N\) листьев. Тогда дворник, пройдя до конца дорожки в одну сторону, сметет с нее эти листья и половину того количества, которое упало за время прохода. Или \[N + \tfrac{1}{2}\,nt = 1200\] листьев. При этом половина листьев, упавших за время прохода, останется. Когда дворник пройдет в обратную сторону, он сметет эти листья и еще \(nt/2\) листьев, которые упадут на дорожку за время обратного прохода. Поэтому \[nt = 120.\] А \(nt/2\) листьев, которые упадут на дорожку за время обратного прохода, на ней останутся. А поскольку до начала следующего прохода пройдет время \(t_0 - 2t\) (\(t_0 = 60\) минут), то к началу следующего прохода на дорожке будут лежать \[N = n\,(t_0 - 2t) + \tfrac{1}{2}\,nt\] листьев. Отсюда и предыдущих формул получаем систему \[n\,(t_0 - 2t) + nt = 1200, \qquad nt = 120.\] Решая ее, найдем \[t = \frac{t_0}{11} = 5{,}45 \text{ минут}.\] Значит, проход в обе стороны Иван Иваныч делает за \(10{,}9\) минуты. А после того, как дворник возвращается, на дорожке останется \(nt/2 = 60\) листьев.