Задачи › Центр масс, системы материальных точек

Диск с вставками и центр масс

  1. Диск с вставками и центр масс

    Всесибирская 2025/26, заключительный этап, 8 кл. · №25495
    5/10PDF: условиес решением

    На заводе изготовили круглый диск радиуса \(R\) и плотности \(\rho\). Его центр масс находился в геометрическом центре — в начале координат. Всё было хорошо, пока в правой половине диска на поверхности не расположили две тонкие круглые вставки из того же материала плотностью \(\rho\). Первая вставка радиуса \(r_1 = R/4\) была расположена так, что её центр оказался в точке \((x_0, a)\), где \(x_0 = R/2\), \(a = R/3\). Вторая вставка радиуса \(r_2 = R/5\) — симметрично относительно горизонтальной оси, с центром в точке \((x_0, -a)\). После этой доработки центр масс диска, естественно, сместился. Теперь перед технологами завода стоит задача: вернуть центр масс в исходное положение. Для этого было решено добавить третью вставку круглой формы, изготовленную из более тяжёлого материала плотностью \(\rho_3 = 3\rho\). Радиус этой вставки уже определён конструкторами и равен \(r_3 = R/5\). Требуется найти координаты \((x_3, y_3)\) центра третьей вставки, при которых центр масс всей системы (диск вместе со всеми тремя вставками) снова окажется в начале координат.

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Диск без вставок уже уравновешен относительно начала координат, поэтому важны только вставки. Запишите условие равенства нулю суммы \(m_i\vec r_i\) покоординатно.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(x_3 = -\dfrac{41}{96}R \approx -0{,}427\,R\), \(y_3 = -\dfrac{R}{16} = -0{,}0625\,R\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Массы вставок: \(m_1 = \rho\pi r_1^2\), \(m_2 = \rho\pi r_2^2\), \(m_3 = 3\rho\pi r_3^2\). Диск без вставок имеет центр масс в начале координат, его вклад в суммарный момент равен нулю, поэтому \(m_1\vec r_1 + m_2\vec r_2 + m_3\vec r_3 = 0\). Покоординатно, с \(x_1 = x_2 = x_0\), \(y_1 = a\), \(y_2 = -a\): $$x_0(m_1+m_2) + m_3x_3 = 0,   a(m_1-m_2) + m_3y_3 = 0.$$ Отсюда в общем виде \(x_3 = -\dfrac{x_0(r_1^2+r_2^2)}{3r_3^2}\), \(y_3 = -\dfrac{a(r_1^2-r_2^2)}{3r_3^2}\).

    Подставляем \(x_0 = R/2\), \(a = R/3\), \(r_1 = R/4\), \(r_2 = r_3 = R/5\): \(x_3 = -\dfrac{41}{96}R \approx -0{,}427\,R\), \(y_3 = -\dfrac{R}{16} = -0{,}0625\,R\).

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх