Голограммы

Ось дифракционной картины перпендикулярна штрихам: измеряя угол отклонения оси и радиус светового кольца, получают наклон касательной к штрихам и их период.

1.1) радиус дифракционного кольца \(r=\dfrac{L\lambda}{d}\); кольца на пластинке равноотстоящие, их радиусы растут прямо пропорционально номеру; 2.2) \(\dfrac{dy}{dx}=\operatorname{tg}\alpha(x)\), полосы — синусоиды.

Данная задача носит качественный характер, потому, что с помощью имеющегося оборудования провести точные измерения не возможно. Понятно, что для решения задачи необходимо направить луч лазера на пластинку и наблюдать в отраженном свете дифракционную картину. В обоих случаях дифракционная картина представляет собой два размытых пятна, центры которых расположены диаметрально противоположно на некоторой окружности. Размеры и ориентация этих пятен изменяются при изменении точки падения луча света на пластинки.

Схематически типичная дифракционная картина показана на рисунке. Здесь \(S\) - набор полос, на которых происходит дифракция света (масштаб сильно увеличен). \(1\), \(1'\) – дифракционные пятна (при некоторых положениях точки падения луча света эти пятна образуют почти полную окружность). В соответствии с общими законами дифракции ось дифракционной картины перпендикулярна линиям, на которых происходит дифракция. Угол дифракции \(\delta\), который определяет, в данном случае, радиус дифракционного кольца \(r\) зависит от расстояния между линиями \(d\), задается формулой

\[d\delta = \lambda,\tag{1}\]

Угол \(\alpha\) можно считать малым, \(\lambda\) - длина волны света. Тогда радиус кольца оказывается равным

\[r = L\delta = \frac{L\lambda}{d}.\tag{2}\]

Угловой размер дифракционных пятен \(\theta\) определяется изгибом полос и равен углу дуги колец в пределах светового кольца. Таким образом, имеется три характеристики дифракционной картины (угол отклонения оси, радиус кольца, угловой размер пятна), которые поддаются приближенному измерению.

Для проведения измерений необходимо луч лазера \(L\) направить на пластинку \(\text{П}\) перпендикулярно ей и наблюдать дифракционную картину на экране \(\text{Э}\) (см. рис.), в центре которого проделано отверстие для луча света. На экране также имеется радиально-круговая шкала для измерения угла отклонения оси \(\alpha\) и радиуса дифракционного кольца \(r\). Смещая пластинку, можно изменять положение точки падения луча.

Для пластинки 1 угол отклонения \(\alpha\) может незначительно изменяться. Это связано с тем, что линия сканирования (на пластинке) не всегда проходит через центр колец на пластинке. Отклонение дифракционных пятен \(r\) практически не зависит от положения точки падения луча. Это дает возможность утверждать, что кольца на пластинке являются равноотстоящими. То есть радиус кольца возрастает прямо пропорционально его номеру}. По измеренному радиусу \(r\) можно оценить расстояние между кольцами, которое составляет величину порядка 10-30 мкм.

Пластинка 2 заклеена полосами плотной бумаги, между которыми оставлена только тонкая щель. На рисунке показана действительная форма вытесненных полос, имеющих форму синусоид (участники олимпиады видеть ее не могли). При смещении пластинки изменялось положение луча, который все время должен попадать в открытую щель. При этом на экране наблюдается описанная дифракционная картина. При смещении пластинки периодически изменяется угол отклонения оси дифракционной картины \(\alpha\). Также значительно изменяется и угловые размеры пятен \(\theta\). Для восстановления структуры полос достаточно измерить зависимость угла \(\alpha\) от координаты точки падения \(x\). Следующий рисунок иллюстрирует основную идею решения поставленной задачи.

Как уже было отмечено, направление оси дифракционной картины перпендикулярно направлениям рисок пластинки. Точнее, касательных к этим линиям. Следовательно, угол отклонения оси от вертикали \(\alpha\) равен углу наклона касательных к горизонтали, т.е. к оси \(x\) (в наших обозначениях). А тангенс угла наклона касательной равен производной от искомой функции \(y(x)\), описывающей форму линий. Заметим, что значение производной в данном случае зависит только от координаты \(x\), так как вертикальное смещение линий не изменяет эту производную. Иными словами, хотя дифракция происходит на разных линиях, но все они имеют одинаковый наклон при заданном значении \(x\). Таким образом, измеряя зависимость угла наклона \(\alpha(x)\) от координаты, \(x\) мы можем получить зависимость производной искомой функции от координаты

\[\frac{dy(x)}{dx} = \operatorname{tg} \alpha(x).\tag{3}\]

Измерения показывают, что зависимость \(\alpha(x)\) является периодической, следовательно, и сами линии являются периодическими. Можно приближенно считать, что они являются синусоидами}.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.