Магнитные взаимодействия

Подсказка

Период колебаний маятника зависит от возвращающего момента: земное поле даёт постоянную добавку к жёсткости, притяжение магнитов — добавку, зависящую от расстояния; вычитайте \(1/T_0^2\) и стройте зависимость в двойном логарифмическом масштабе.

Ответ

\(T_0=(8{,}84\pm0{,}18)\) с; 2.2) \(f(x)=\dfrac{1}{1+l/x}\left(\dfrac1{T^2}-\dfrac1{T_0^2}\right)\); 2.4) \(F=\dfrac{A}{x^3}\) (наклон \(\approx-3{,}14\) на графике \(\ln f(\ln x)\)).

Решение

Часть 1. Влияние магнитного поля Земли.

1.1 Результаты трех измерений периода колебаний следующие

Из данных следует, что случайная погрешность заметно превышает приборную. Для оценки погрешности применима любая из формул а) самая правильная (\(t_{n,p}\) - коэффициент Стьюдента):

\[\Delta T = t_{n,p} \sqrt{\frac{\sum\limits_k (T_{0k} - \langle T_0 \rangle)^2}{n(n-1)}} = 0{,}4c\tag{1}\]

б)

\[\Delta T = 2 \sqrt{\frac{\sum\limits_k (T_{0k} - \langle T_0 \rangle)^2}{n(n-1)}} = 0{,}18c.\tag{2}\]

в)

\[\Delta T = \sqrt{\frac{\sum\limits_k (T_{0k} - \langle T_0 \rangle)^2}{n}} = 0{,}13c\tag{3}\]

г)

\[\Delta T = \frac{\sum\limits_k \vert T_{0i} - \langle T_0 \rangle\vert }{n} = 0{,}11c\tag{4}\]

В дальнейшем будем использовать оценку (2) Таким образом, измеренное значение периода колебаний, обусловленных магнитным полем Земли, равно

\[T_0 = (8{,}84 \pm 0{,}18)c\]

Часть 2. Взаимодействие магнитов.

2.1 Результаты измерений зависимости периода колебаний маятника от расстояния \(x\) между магнитами приведены в Таблице 1. Ниже приведен график полученной зависимости.

Таблица 1

2.2 Для расчета периода колебаний можно воспользоваться двумя подходами. Первый – «динамический». В его рамках следует получить уравнение вида

\[J\varepsilon = -K\varphi\, ,\tag{5}\]

где \(\varphi\) - малый угол поворота маятника, \(\varepsilon\) - его угловое ускорение, \(J\) - константа, определяющая инерционные свойства маятника (момент инерции), \(-K\varphi\) - возвращающий момент силы, действующий на маятник. В общем случае момент силы сложным образом зависит от угла поворота \(M = f(\varphi)\). Однако при малых колебаниях эту функцию можно приближенно заменить линейной \(M = f(\varphi) \approx K\varphi\) и подставить ее в уравнение (5). Уравнение (5) является уравнением гармонических колебаний с периодом

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{K}}\, .\tag{6}\]

Второй способ расчета периода, «энергетический» подробно описан в решении теоретической задачи 11-1. Естественно он применим и в данном случае.

Рассмотрим сначала колебания маятника только под воздействием магнитного поля Земли. В этом случае на маятник действует вращательный момент силы, пропорциональный углу поворота маятника (так как магнитное поле можно считать однородным):

\[M_0 = -K_0\varphi\tag{7}\]

где \(K_0\) - постоянная величина, зависящая от индукции магнитного поля и магнитного момента маятника. На рисунке силы \(\vec{F}_0\) - показаны, как условные. Физический смысл имеет действующий момент сил. Период колебаний в этом случае определяется по формуле

\[T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J}{K_0}}\tag{8}\]

Рассчитаем теперь момент сил, действующих на маятник, если на расстояниях \(x\) расположены притягивающие магниты. Сила взаимодействия между \(\vec{F}\) магнитами является центральной. Кроме того, можно учитывать только взаимодействия между ближайшими магнитами, т.к. длина маятника достаточно велика (\(2l = 15\)см, \(l\) - половина длины стержня). Из рисунка следует, что момент силы, действующий на магнит маятника, равен (все углу отклонения полагаем малыми)

\[M = -lF\sin\beta \approx -lF\beta\, .\tag{9}\]

Из геометрии следует, что \(\beta = \alpha + \varphi\) (внешний угол треугольника) и \(\varphi l = \alpha x\) (теорема синусов). Поэтому \(\beta = \varphi\left(1 + \frac{l}{x}\right)\), а момент силы выражается формулой

\[M = -lF\left(1 + \frac{l}{x}\right)\varphi\, .\tag{10}\]

В приближении малых углов модуль силы \(F\) можно считать постоянным и равным \(F(x)\). Таким образом, уравнение колебаний в этом случае будет иметь вид

\[J \varepsilon = - K _ { 0 } \varphi - 2 l \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) \cdot \varphi\tag{11}\]

Период колебаний маятника

\[T ( x ) = 2 \pi \sqrt { \frac { J } { K _ { 0 } + 2 l \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) } } \ .\tag{12}\]

Отметим, что основную в данном выводе формулу можно получить более простым, но формальным способом. Пусть энергия взаимодействия магнитов описывается некоторой функцией \(U ( r )\), где \(r\) - расстояние между магнитами. Из теоремы косинусов следует, что \(r = \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) \cos \varphi }\). Производная от потенциальной энергии по углу поворота равна моменту силы \(M = - \frac { d U } { d \varphi }\). По правилу вычисления производной от сложной функции получаем (с учетом формулы \(- \frac { d U } { d r } = F ( r )\)):

\[M = - \frac { d U } { d \varphi } = - \frac { d U } { d r } \frac { d r } { d \varphi } = F ( r ) \frac { l ( l + x ) \sin \varphi } { \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) \cos \varphi } } \ .\]

С точностью до малых величин первого порядка

\[M = F ( r ) \frac { l ( l + x ) \sin \varphi } { \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) \cos \varphi } } \approx F ( x ) \frac { l ( l + x ) } { \sqrt { l ^ { 2 } + ( l + x ) ^ { 2 } - 2 l ( l + x ) } } \varphi = \frac { l ( l + x ) } { x } F ( x )\]

Зависимость силы взаимодействия можно выразить из полученных формул (8) и (12):

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { T ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } J } \left( K _ { 0 } + 2 l \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) \right) } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } J } K _ { 0 } } \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { l } { 2 \pi ^ { 2 } J } \left( 1 + \frac { l } { x } \right) F ( x ) \ .\]

Таким образом, с точностью до постоянного множителя сила взаимодействия может быть рассчитана по периодам колебаний с помощью формулы

\[f ( x ) = \frac { 1 } { \left( 1 + \displaystyle \frac { l } { x } \right) } \left( \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } \right) .\tag{13}\]

2.3 – 2.4 В Таблице 2 показаны результаты расчетов зависимости силы взаимодействия магнитов от расстояния \(f(x)\), проведенные по формуле (13).

Таблица 2.

График этой зависимости удобно строить в логарифмическом масштабе, так сила быстро убывает с увеличением расстояния.

Полученная зависимость во всем диапазоне расстояний является практически линейной с коэффициентом наклона \(a = -3{,}14 \approx 3\). Поэтому можно считать, что сила взаимодействия магнитов убывает обратно пропорционально кубу расстояния:

\[F = \frac{A}{x^3}.\tag{14}\]

Примечания (не входящие в основное решение)

1. При выводе формулы (12) для периода колебаний учет изменения направления силы взаимодействия магнитов приводит к появлению множителя \(\left(1 + \frac{l}{x}\right)\). Пренебрежение этим фактором приводит к следующей формуле для расчета силы

\[f(x) = \left(\frac{1}{T^2} - \frac{1}{T_0^2}\right).\tag{13.\text{а}}\]

Учет взаимодействия с магнитным полем Земли приводит к появлению постоянного слагаемого \(K_0\) в формуле (12) и как следствие величины \(-\frac{1}{T_0^2}\) в формуле для периода. Без его учета формула для силы взаимодействия приобретает вид

\[f(x) = \frac{C}{T^2}.\tag{13.\text{б}}\]

Следующий рисунок показывает значимость обоих оговоренных факторов.

Здесь:

1- Зависимость, рассчитанная по формуле (13) (та, которая является, или считается правильной). 2- Зависимость, рассчитанная по формуле (13а) (без учета изменения направления силы). Эта зависимость также может считаться линейной, но ее коэффициент наклона близок к -4. 3- Зависимость, рассчитанная по формуле (13б) (без учета влияния земного магнитного поля). В этом случае зависимость нелинейная. Именно для нее в условии задачи рекомендовано предложить две формулы для малых и больших расстояний.

2. Полученная зависимость силы от расстояния \(F \propto r^{-3}\) имеет теоретическое обоснование. Индукция магнитного поля кольца\(^2\) убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Однако в данном случае намагничивается весь стержень маятника. Поэтому система «стержень плюс два магнита» эквивалентна длинному соленоиду. В этом случае для вычисления индукции поля необходимо проинтегрировать индукции полей, создаваемых всеми витками. Так для полубесконечного \(z \in (0, \infty)\) соленоида на большом расстоянии от его торца получим

\[B \propto \int_{0}^{\infty} \frac{dz}{(r+z)^3} \propto \frac{1}{r^2}.\]

Интересно, что в этом случае можно говорить о «магнитных зарядах», расположенных на концах стержня - почти монополь Дирака. Отдельный магнит можно рассматривать как магнитный диполь. Сила, действующая на него пропорциональна производной от магнитной индукции, в данной системе

\[F \propto \frac{dB}{dr} \propto \frac{1}{r^3}.\]

\(^2\) См. Решение теоретической задачи 11.2

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.