Сила взаимодействия колец с током

Найдите индукцию поля одного кольца в точках на расстоянии от его оси, а затем примените закон Ампера ко второму кольцу.

Найдем индукцию магнитного поля, созданного кольцом радиуса \(2R\) в области второго кольца, а затем по закону Ампера найдем силу взаимодействия колец. Индукция магнитного поля кольца на его оси направлена вдоль оси, а в точках, расположенных на некотором расстоянии от оси (т.е. в области второго кольца), — под некоторым углом к оси (см. рисунок). Используя далее закон взаимодействия магнитного поля и тока (закон Ампера), заключаем, что суммарная сила Ампера, действующая на кольцо радиуса \(R\) со стороны магнитного поля второго кольца, направлена вдоль оси колец и определяется составляющей вектора \(\vec B\), перпендикулярной оси: \[F = 2\pi R I B_{\perp}, \qquad (1)\] где \(B_{\perp}\) — составляющая вектора индукции, перпендикулярная оси кольца.

Используем известное выражение для индукции магнитного поля кольца на его оси на расстоянии \(x\) от его плоскости: \[B = \frac{\mu_0}{2}\,\frac{I(2R)^2}{\left((2R)^2 + x^2\right)^{3/2}}, \qquad (2)\] где \(I\) — ток в кольце, \(2R\) — его радиус. Рассмотрим вспомогательную цилиндрическую поверхность, соосную оси кольца, с радиусом, равным радиусу второго кольца \(R\), и малой высотой \(\Delta x\) (см. рисунок). Так как индукция на оси кольца уменьшается с ростом расстояния от кольца, то поток вектора магнитной индукции через верхнее основание цилиндрической поверхности меньше потока через нижнее. А поскольку поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (отсутствуют магнитные заряды), то разность потоков через основания \[\Delta\Phi = \pi R^2\left(B(x) - B(x + \Delta x)\right) \qquad (3)\] равна потоку вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра \[\Delta\Phi = B_{\perp}\cdot 2\pi R\,\Delta x, \qquad (4)\] где \(2\pi R\,\Delta x\) — площадь его боковой поверхности. Из формул \((3)\), \((4)\) находим \[B_{\perp} = -\frac{R}{2}\cdot\frac{B(x + \Delta x) - B(x)}{\Delta x}. \qquad (5)\] Так как \(\Delta x\) мало, то выражение \((5)\) сводится к производной величины индукции на оси кольца \((2)\) по \(x\). Дифференцируя функцию \((2)\), находим по формулам \((5)\), \((1)\) в пределе \(x \gg R\) (расстояние \(x\) здесь — то же \(d\) из условия): \[F = 6\pi\mu_0\,\frac{I^2R^4}{d^4}.\]