Сила взаимодействия колец с током

Найдите индукцию поля кольца радиуса \(2R\) на расстоянии \(d\) на его оси и ее поперечную составляющую в области первого кольца; затем примените закон Ампера.

Найдем индукцию магнитного поля, созданного кольцом радиуса \(2R\), в области первого кольца, а затем по закону Ампера — силу взаимодействия колец. Индукция поля кольца на его оси направлена вдоль оси, а в точках на некотором расстоянии от оси — под некоторым углом к ней. Суммарная сила Ампера, действующая на кольцо радиуса \(R\), направлена вдоль оси колец и определяется составляющей \(B_\perp\) вектора индукции, перпендикулярной оси: \[F = 2\pi R I B_\perp. \qquad (1)\] Индукция на оси кольца радиуса \(2R\) на расстоянии \(x\) от его плоскости: \[B = \frac{\mu_0}{2}\,\frac{I (2R)^2}{\left((2R)^2 + x^2\right)^{3/2}}. \qquad (2)\] Рассмотрим вспомогательную цилиндрическую поверхность, соосную с кольцами, радиусом \(R\) и малой высотой \(\Delta x\). Так как поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю, разность потоков через основания равна потоку через боковую поверхность: \[\pi R^2\left(B(x) - B(x + \Delta x)\right) = B_\perp\cdot 2\pi R\,\Delta x.\]

Отсюда \[B_\perp = -\frac{R}{2}\,\frac{B(x + \Delta x) - B(x)}{\Delta x}.\] При \(\Delta x \to 0\) это выражение сводится к производной \(dB/dx\) функции (2). Дифференцируя и подставляя в (1), при \(x = d \gg R\) получим \[F = 6\pi\mu_0\,\frac{I^2 R^4}{d^4}.\]